Analysis Beispiele

$x^{2} \ln (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.3.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Schritt 1.1.3.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x \ln (x) + x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \ln (x) = - x$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (x) = - x$ durch $2 x$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (x) = - x$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 2.3.2.2.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 2.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.5

Schreibe $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Schritt 2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{- \frac{1}{2}}$ um.

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 3.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 4

Werte $x^{2} \ln (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

${(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ an.

$\frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{1}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.2.2.2

Vereinfache.

$\frac{1}{e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.2.3

Bringe $e^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.2.4

Zerlege $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $- \frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2} \ln (e))$

Schritt 4.1.2.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{e}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e$ .

$- \frac{1}{2 e}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{2} \ln (0)$

Schritt 4.2.2

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$

Schritt 5