Analysis Beispiele

$\frac{| 4 - x^{2} |}{x - 2}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{| 4 - x^{2} |}{x - 2}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{| 4 - x^{2} |}{x - 2}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = | 4 - x^{2} |$ und $g (x) = x - 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} (| 4 - x^{2} |) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (- (2 x)) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}) \cdot (- 2 x) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4 - x^{2}}{| 4 - x^{2} |}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{- 2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) \cdot x - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6.3

Kombiniere $x$ und $\frac{- 2 (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{x (- 2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.6.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{x \cdot (2 (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 \cdot (x (4 - x^{2}))}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | (1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.9

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} | \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x \cdot 4 + 2 x (- x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.4.2.1.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 x (- x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 \cdot (- 1 x \cdot x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.4.2.1.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x))}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.4.2.1.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x))}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 \cdot (- 1 x^{2 + 1})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.1.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x + 2 \cdot (- 1 x^{3})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{8 x - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.1.5

Schreibe $8 x - 2 x^{3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.4.2.1.1.5.1

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x - 2 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1.4.2.1.1.5.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4) - 2 x^{3}}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.1.5.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4) + 2 x (- x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.1.5.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (4) + 2 x (- x^{2})$ heraus.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (4 - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2^{2} - x^{2})}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.1.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.4.2.1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2^{2} - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.2.3

Multipliziere $(2 + x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.4.2.1.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2 (2 - x) + x (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.4.2.1.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.2.1.2.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.2.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.2.4.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.2.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.2.4.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.4.2.1.2.4.1.5.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.2.4.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - 2 x + 2 x - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.2.4.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 + 0 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.2.4.3

Addiere $4$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 4 - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.2.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| 2^{2} - x^{2} |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.2.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - 2 (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{- x \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - 2 (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.5

Multipliziere $- 2 (- \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |})$ .

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Schritt 2.1.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (x) = \frac{- x \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + 2 (\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}) - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

$f' (x) = \frac{- x \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{2 (2 x (2 + x) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{- x \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.6

Multipliziere $- x \frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

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Schritt 2.1.4.2.1.6.1

Kombiniere $\frac{2 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{- \frac{2 x (2 + x) (2 - x) x}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.6.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- \frac{2 (x \cdot x) (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.6.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- \frac{2 (x \cdot x) (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{- \frac{2 x^{1 + 1} (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 ((x (2 + x)) (2 - x))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{\frac{- 2 x^{2} (2 + x) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.2.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{(- 2 x^{2} \cdot 2 - 2 x^{2} x) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(- 4 x^{2} - 2 x^{2} x) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.4.2.1.8.3.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(- 4 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2})) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.8.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(- 4 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2})) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{\frac{(- 4 x^{2} - 2 x^{1 + 2}) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(- 4 x^{2} - 2 x^{3}) (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.4

Multipliziere $(- 4 x^{2} - 2 x^{3}) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.8.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{- 4 x^{2} (2 - x) - 2 x^{3} (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{- 4 x^{2} \cdot 2 - 4 x^{2} (- x) - 2 x^{3} (2 - x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{- 4 x^{2} \cdot 2 - 4 x^{2} (- x) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 x^{2} (- x) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 \cdot (- 1 x^{2} x) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.3.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} - 4 \cdot (- 1 x^{3}) - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 2 x^{3} \cdot 2 - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 x^{3} (- x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 \cdot (- 1 x^{3} x) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.7

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.7.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 \cdot (- 1 (x \cdot x^{3})) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 \cdot (- 1 (x \cdot x^{3})) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 \cdot (- 1 x^{1 + 3}) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.7.3

Addiere $1$ und $3$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 2 \cdot (- 1 x^{4}) + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3} + 2 x^{4} + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.2

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 0 + 2 x^{4} + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.5.3

Addiere $- 8 x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 4 x (2 + x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + (4 x \cdot 2 + 4 x \cdot x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + (8 x + 4 x \cdot x) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.8.8.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + (8 x + 4 (x \cdot x)) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + (8 x + 4 x^{2}) (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.9

Multipliziere $(8 x + 4 x^{2}) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.8.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 8 x (2 - x) + 4 x^{2} (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 8 x \cdot 2 + 8 x (- x) + 4 x^{2} (2 - x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 8 x \cdot 2 + 8 x (- x) + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x + 8 x (- x) + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x + 8 \cdot (- 1 x \cdot x) + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1.3.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x)) + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x + 8 \cdot (- 1 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 4 x^{2} \cdot 2 + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 x^{2} (- x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 \cdot (- 1 x^{2} x)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1.7.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2}))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2}))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 \cdot (- 1 x^{1 + 2})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} + 4 \cdot (- 1 x^{3})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 8 x^{2} + 8 x^{2} - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.2

Addiere $- 8 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x + 0 - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.8.10.3

Addiere $16 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.4.2.1.9.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 16 x - 4 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1.4.2.1.9.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x) + 2 x^{4} + 16 x - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x) + 2 x (x^{3}) + 16 x - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $16 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x) + 2 x (x^{3}) + 2 x (8) - 4 x^{3}}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.1.4

Faktorisiere $2 x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x) + 2 x (x^{3}) + 2 x (8) + 2 x (- 2 x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.1.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- 4 x) + 2 x (x^{3})$ heraus.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x + x^{3}) + 2 x (8) + 2 x (- 2 x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.1.6

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- 4 x + x^{3}) + 2 x (8)$ heraus.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x + x^{3} + 8) + 2 x (- 2 x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.1.7

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- 4 x + x^{3} + 8) + 2 x (- 2 x^{2})$ heraus.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (- 4 x + x^{3} + 8 - 2 x^{2})}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.4.2.1.9.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x^{3} - 2 x^{2}) - 4 x + 8)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} (x - 2) - 4 (x - 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x^{2} - 4))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x^{2} - 2^{2}))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x + 2) (x - 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.1.4.2.1.9.7.1

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x - 2) (x + 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.7.2

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x - 2) (x + 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ({(x - 2)}^{1 + 1} (x + 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.1.9.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ({(x - 2)}^{2} (x + 2))}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x - 2)}^{2} (x + 2)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} |}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.2

Um $- | 4 - x^{2} |$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x - 2)}^{2} (x + 2)}{| (2 + x) (2 - x) |} - | 4 - x^{2} | \cdot \frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.3

Kombiniere $- | 4 - x^{2} |$ und $\frac{| (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x - 2)}^{2} (x + 2)}{| (2 + x) (2 - x) |} + \frac{- | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x - 2)}^{2} (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x ((x - 2) (x - 2)) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 4 x + 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.5.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.5.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(2 (x^{2} x) + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.5.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.5.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(2 (x^{2} x) + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{2 + 1} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.5.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x \cdot x) + 2 x \cdot 4) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x \cdot x) + 8 x) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.6.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.6.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 (x \cdot x)) + 8 x) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x^{2}) + 8 x) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x + 2) - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.7

Multipliziere $(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x + 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 2 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.8

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.8.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.8.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 2 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 2 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 2 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.8.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 2 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.8.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.8.3.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.8.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.8.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.8.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{1 + 2} - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.8.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{3} - 8 x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.8.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{3} - 16 x^{2} + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.8.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.8.5.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{3} - 16 x^{2} + 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.8.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{3} - 16 x^{2} + 8 x^{2} + 8 x \cdot 2 - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.8.6

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{3} - 16 x^{2} + 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.9

Subtrahiere $8 x^{3}$ von $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 16 x^{2} + 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.10

Addiere $- 16 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | (2 + x) (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.11

Multipliziere $(2 + x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 2 (2 - x) + x (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.12.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.12.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.12.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.12.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.12.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.12.1.5.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.12.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - 2 x + 2 x - x^{2} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.12.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 + 0 - x^{2} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.12.3

Addiere $4$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 - x^{2} | | 4 - x^{2} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.13

Multipliziere $- | 4 - x^{2} | | 4 - x^{2} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.13.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.13.2

Potenziere $4 - x^{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.13.3

Potenziere $4 - x^{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.13.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | {(4 - x^{2})}^{1 + 1} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.13.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | {(4 - x^{2})}^{2} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.14

Schreibe ${(4 - x^{2})}^{2}$ als $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ um.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.15

Multipliziere $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.5.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.15.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.16

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.4.2.5.16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.2.5.16.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.16.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.16.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.16.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.16.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.4.2.5.16.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.16.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.16.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.16.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.16.1.7

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2.5.16.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.4.3.1

Schreibe $\frac{\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |}}{{(x - 2)}^{2}}$ als ein Produkt um.

$f' (x) = \frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) |}$ mit $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{| (2 + x) (2 - x) | {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |}$ .

$\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $| 16 - 8 x^{2} + x^{4} |$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $2 x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4}$

Schritt 3.3.1.2

Addiere $4 x^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4} + 4 x^{3}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $8 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Schritt 3.3.1.4

Subtrahiere $16 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- | 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x$ durch $- 1$ .

$\frac{- | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{- 1} = \frac{- 2 x^{4}}{- 1} + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{| 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{1} = \frac{- 2 x^{4}}{- 1} + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2.2

Dividiere $| 16 - 8 x^{2} + x^{4} |$ durch $1$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = \frac{- 2 x^{4}}{- 1} + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2 x^{4}}{- 1}$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - 1 \cdot (- 2 x^{4}) + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Schritt 3.3.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (- 2 x^{4})$ als $- (- 2 x^{4})$ um.

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = - (- 2 x^{4}) + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Schritt 3.3.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} + \frac{4 x^{3}}{- 1} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Schritt 3.3.2.3.1.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4 x^{3}}{- 1}$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 1 \cdot (4 x^{3}) + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Schritt 3.3.2.3.1.5

Schreibe $- 1 \cdot (4 x^{3})$ als $- (4 x^{3})$ um.

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - (4 x^{3}) + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Schritt 3.3.2.3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{- 1} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Schritt 3.3.2.3.1.7

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{8 x^{2}}{- 1}$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 1 \cdot (8 x^{2}) + \frac{- 16 x}{- 1}$

Schritt 3.3.2.3.1.8

Schreibe $- 1 \cdot (8 x^{2})$ als $- (8 x^{2})$ um.

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - (8 x^{2}) + \frac{- 16 x}{- 1}$

Schritt 3.3.2.3.1.9

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + \frac{- 16 x}{- 1}$

Schritt 3.3.2.3.1.10

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 16 x}{- 1}$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 16 x)$

Schritt 3.3.2.3.1.11

Schreibe $- 1 \cdot (- 16 x)$ als $- (- 16 x)$ um.

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} - (- 16 x)$

Schritt 3.3.2.3.1.12

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$| 16 - 8 x^{2} + x^{4} | = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$16 - 8 x^{2} + x^{4} = \pm (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x)$

Schritt 3.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$16 - 8 x^{2} + x^{4} = 2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x$

Schritt 3.3.4.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Schritt 3.3.4.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.4.3.1

Addiere $8 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 8 x^{2} = 16 + x^{4}$

Schritt 3.3.4.3.2

Subtrahiere $x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 8 x^{2} - x^{4} = 16$

Schritt 3.3.4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 8 x^{2} - x^{4}$ .

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Schritt 3.3.4.3.3.1

Addiere $- 8 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$2 x^{4} - 4 x^{3} + 16 x + 0 - x^{4} = 16$

Schritt 3.3.4.3.3.2

Addiere $2 x^{4} - 4 x^{3} + 16 x$ und $0$ .

$2 x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - x^{4} = 16$

Schritt 3.3.4.3.4

Subtrahiere $x^{4}$ von $2 x^{4}$ .

$x^{4} - 4 x^{3} + 16 x = 16$

Schritt 3.3.4.4

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16 = 0$

Schritt 3.3.4.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.4.5.1

Faktorisiere $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.3.4.5.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 3.3.4.5.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Schritt 3.3.4.5.1.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.3.4.5.1.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

${(- 2)}^{4} - 4 {(- 2)}^{3} + 16 \cdot - 2 - 16$

Schritt 3.3.4.5.1.3.2

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$16 - 4 {(- 2)}^{3} + 16 \cdot - 2 - 16$

Schritt 3.3.4.5.1.3.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$16 - 4 \cdot - 8 + 16 \cdot - 2 - 16$

Schritt 3.3.4.5.1.3.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$16 + 32 + 16 \cdot - 2 - 16$

Schritt 3.3.4.5.1.3.5

Addiere $16$ und $32$ .

$48 + 16 \cdot - 2 - 16$

Schritt 3.3.4.5.1.3.6

Mutltipliziere $16$ mit $- 2$ .

$48 - 32 - 16$

Schritt 3.3.4.5.1.3.7

Subtrahiere $32$ von $48$ .

$16 - 16$

Schritt 3.3.4.5.1.3.8

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$0$

Schritt 3.3.4.5.1.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16}{x + 2}$

Schritt 3.3.4.5.1.5

Dividiere $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ durch $x + 2$ .

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Schritt 3.3.4.5.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

Schritt 3.3.4.5.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

Schritt 3.3.4.5.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 3.3.4.5.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 3.3.4.5.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

Schritt 3.3.4.5.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 3.3.4.5.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 3.3.4.5.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

Schritt 3.3.4.5.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x^{3} - 12 x^{2}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

Schritt 3.3.4.5.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

Schritt 3.3.4.5.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

Schritt 3.3.4.5.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

Schritt 3.3.4.5.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

Schritt 3.3.4.5.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x^{2} + 24 x$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

Schritt 3.3.4.5.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

Schritt 3.3.4.5.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

$16$

Schritt 3.3.4.5.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

$16$

Schritt 3.3.4.5.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

$16$

$8 x$

$16$

Schritt 3.3.4.5.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x - 16$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

$16$

$8 x$

$16$

Schritt 3.3.4.5.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x^{3}$

$12 x^{2}$

$16 x$

$12 x^{2}$

$24 x$

$8 x$

$16$

$8 x$

$16$

$0$

Schritt 3.3.4.5.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

Schritt 3.3.4.5.1.6

Schreibe $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 2) (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) = 0$

Schritt 3.3.4.5.2

Faktorisiere $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.3.4.5.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 3.3.4.5.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Schritt 3.3.4.5.2.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.3.4.5.2.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Schritt 3.3.4.5.2.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Schritt 3.3.4.5.2.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Schritt 3.3.4.5.2.3.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Schritt 3.3.4.5.2.3.5

Subtrahiere $24$ von $8$ .

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Schritt 3.3.4.5.2.3.6

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$- 16 + 24 - 8$

Schritt 3.3.4.5.2.3.7

Addiere $- 16$ und $24$ .

$8 - 8$

Schritt 3.3.4.5.2.3.8

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$0$

Schritt 3.3.4.5.2.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Schritt 3.3.4.5.2.5

Dividiere $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ durch $x - 2$ .

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Schritt 3.3.4.5.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

Schritt 3.3.4.5.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

Schritt 3.3.4.5.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 3.3.4.5.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 3.3.4.5.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Schritt 3.3.4.5.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 3.3.4.5.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 3.3.4.5.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 3.3.4.5.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 3.3.4.5.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

Schritt 3.3.4.5.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Schritt 3.3.4.5.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Schritt 3.3.4.5.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Schritt 3.3.4.5.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x - 8$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Schritt 3.3.4.5.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

Schritt 3.3.4.5.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 3.3.4.5.2.6

Schreibe $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Schritt 3.3.4.5.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.4.5.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Schritt 3.3.4.5.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 3.3.4.5.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x + 2) ((x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 3.3.4.5.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 2) ((x - 2) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Schritt 3.3.4.5.4

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 3.3.4.5.4.1

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Schritt 3.3.4.5.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 2} = 0$

Schritt 3.3.4.5.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{3} = 0$

Schritt 3.3.4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

${(x - 2)}^{3} = 0$

Schritt 3.3.4.7

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.4.7.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.3.4.7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.3.4.8

Setze ${(x - 2)}^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.4.8.1

Setze ${(x - 2)}^{3}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

Schritt 3.3.4.8.2

Löse ${(x - 2)}^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.4.8.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.3.4.8.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.3.4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) {(x - 2)}^{3} = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2$

Schritt 3.3.4.10

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$16 - 8 x^{2} + x^{4} = - (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x)$

Schritt 3.3.4.11

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Schritt 3.3.4.12

Vereinfache $- (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x)$ .

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Schritt 3.3.4.12.1

Forme um.

$0 + 0 - (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Schritt 3.3.4.12.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- (2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Schritt 3.3.4.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 x^{4}) - (- 4 x^{3}) - (- 8 x^{2}) - (16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Schritt 3.3.4.12.4

Vereinfache.

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Schritt 3.3.4.12.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{4} - (- 4 x^{3}) - (- 8 x^{2}) - (16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Schritt 3.3.4.12.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{4} + 4 x^{3} - (- 8 x^{2}) - (16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Schritt 3.3.4.12.4.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - (16 x) = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Schritt 3.3.4.12.4.4

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x = 16 - 8 x^{2} + x^{4}$

Schritt 3.3.4.13

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.4.13.1

Addiere $8 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x + 8 x^{2} = 16 + x^{4}$

Schritt 3.3.4.13.2

Subtrahiere $x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x + 8 x^{2} - x^{4} = 16$

Schritt 3.3.4.13.3

Subtrahiere $x^{4}$ von $- 2 x^{4}$ .

$- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x + 8 x^{2} = 16$

Schritt 3.3.4.13.4

Addiere $8 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x = 16$

Schritt 3.3.4.14

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x - 16 = 0$

Schritt 3.3.4.15

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.4.15.1

Gruppiere die Terme um.

$4 x^{3} - 16 x - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 3.3.4.15.2

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 16 x$ heraus.

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Schritt 3.3.4.15.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 16 x - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 3.3.4.15.2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 16 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 3.3.4.15.2.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 3.3.4.15.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 x (x^{2} - 2^{2}) - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 3.3.4.15.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.4.15.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 3.3.4.15.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 x^{4} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 3.3.4.15.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 {(x^{2})}^{2} + 16 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 3.3.4.15.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 u^{2} + 16 u - 16 = 0$

Schritt 3.3.4.15.7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.4.15.7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot - 16 = 48$ und deren Summe gleich $b = 16$ ist.

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Schritt 3.3.4.15.7.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 u$ heraus.

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 u^{2} + 16 (u) - 16 = 0$

Schritt 3.3.4.15.7.1.2

Schreibe $16$ um als $4$ plus $12$

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 u^{2} + (4 + 12) u - 16 = 0$

Schritt 3.3.4.15.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 u^{2} + 4 u + 12 u - 16 = 0$

Schritt 3.3.4.15.7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.4.15.7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$4 x (x + 2) (x - 2) - 3 u^{2} + 4 u + 12 u - 16 = 0$

Schritt 3.3.4.15.7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 x (x + 2) (x - 2) + u (- 3 u + 4) - 4 (- 3 u + 4) = 0$

Schritt 3.3.4.15.7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 u + 4$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 u + 4) (u - 4) = 0$

Schritt 3.3.4.15.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 x^{2} + 4) (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 3.3.4.15.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 3.3.4.15.10

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.4.15.10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 3.3.4.15.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 3.3.4.15.11

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $4 x (x + 2) (x - 2) + (- 3 x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

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Schritt 3.3.4.15.11.1

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $4 x (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (4 x) + (- 3 x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 3.3.4.15.11.2

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $(- 3 x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (4 x) + (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 3.3.4.15.11.3

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $(x + 2) (x - 2) (4 x) + (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} + 4)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (4 x - 3 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 3.3.4.15.12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (4 u - 3 u^{2} + 4) = 0$

Schritt 3.3.4.15.13

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.4.15.13.1

Stelle die Terme um.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 u^{2} + 4 u + 4) = 0$

Schritt 3.3.4.15.13.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 3.3.4.15.13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 u$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 u^{2} + 4 (u) + 4) = 0$

Schritt 3.3.4.15.13.2.2

Schreibe $4$ um als $- 2$ plus $6$

$(x + 2) (x - 2) (- 3 u^{2} + (- 2 + 6) u + 4) = 0$

Schritt 3.3.4.15.13.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 u^{2} - 2 u + 6 u + 4) = 0$

Schritt 3.3.4.15.13.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.4.15.13.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 2) (x - 2) ((- 3 u^{2} - 2 u) + 6 u + 4) = 0$

Schritt 3.3.4.15.13.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 2) (x - 2) (u (- 3 u - 2) - 2 (- 3 u - 2)) = 0$

Schritt 3.3.4.15.13.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 u - 2$ .

$(x + 2) (x - 2) ((- 3 u - 2) (u - 2)) = 0$

Schritt 3.3.4.15.14

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.4.15.14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((- 3 x - 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 3.3.4.15.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x - 2) (x - 2) = 0$

Schritt 3.3.4.15.15

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.4.15.15.1

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (- 3 x - 2) = 0$

Schritt 3.3.4.15.15.2

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (- 3 x - 2) = 0$

Schritt 3.3.4.15.15.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (- 3 x - 2) = 0$

Schritt 3.3.4.15.15.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (- 3 x - 2) = 0$

Schritt 3.3.4.16

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$- 3 x - 2 = 0$

Schritt 3.3.4.17

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.4.17.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.3.4.17.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.3.4.18

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.4.18.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.4.18.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.4.18.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.3.4.18.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.3.4.19

Setze $- 3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.4.19.1

Setze $- 3 x - 2$ gleich $0$ .

$- 3 x - 2 = 0$

Schritt 3.3.4.19.2

Löse $- 3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.4.19.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = 2$

Schritt 3.3.4.19.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 2$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.4.19.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 2$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Schritt 3.3.4.19.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.4.19.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.3.4.19.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Schritt 3.3.4.19.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{- 3}$

Schritt 3.3.4.19.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.4.19.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 3.3.4.20

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) {(x - 2)}^{2} (- 3 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2, - \frac{2}{3}$

Schritt 3.4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - | 16 - 8 x^{2} + x^{4} |}{{(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) | = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

$| (2 + x) (2 - x) | = 0$

Schritt 5.2.2

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.2.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 5.2.2.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.2.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.2.2.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5.2.3

Setze $| (2 + x) (2 - x) |$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.3.1

Setze $| (2 + x) (2 - x) |$ gleich $0$ .

$| (2 + x) (2 - x) | = 0$

Schritt 5.2.3.2

Löse $| (2 + x) (2 - x) | = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.3.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$(2 + x) (2 - x) = \pm 0$

Schritt 5.2.3.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$(2 + x) (2 - x) = 0$

Schritt 5.2.3.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Schritt 5.2.3.2.4

Setze $2 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.3.2.4.1

Setze $2 + x$ gleich $0$ .

$2 + x = 0$

Schritt 5.2.3.2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5.2.3.2.5

Setze $2 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.3.2.5.1

Setze $2 - x$ gleich $0$ .

$2 - x = 0$

Schritt 5.2.3.2.5.2

Löse $2 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.3.2.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 5.2.3.2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.3.2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.2.3.2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.3.2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.2.3.2.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.2.3.2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.2.5.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 5.2.3.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 + x) (2 - x) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x - 2)}^{2} | (2 + x) (2 - x) | = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 2$

Schritt 5.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 2, x = 2$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{2 {(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{3} - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{((- 3) - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (- 3) = \frac{2 {(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{3} - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{((- 3) - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f' (- 3) = \frac{2 \cdot 81 - 4 {(- 3)}^{3} - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $81$ .

$f' (- 3) = \frac{162 - 4 {(- 3)}^{3} - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f' (- 3) = \frac{162 - 4 \cdot - 27 - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 27$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 8 {(- 3)}^{2} + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.5

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 8 \cdot 9 + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $9$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 + 16 (- 3) - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.7

Mutltipliziere $16$ mit $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | 16 - 8 {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.2.8.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | 16 - 8 \cdot 9 + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.8.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $9$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | 16 - 72 + {(- 3)}^{4} |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.8.3

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | 16 - 72 + 81 |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.9

Subtrahiere $72$ von $16$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | - 56 + 81 |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.10

Addiere $- 56$ und $81$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - | 25 |}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.11

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $25$ ist $25$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - 1 \cdot 25}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f' (- 3) = \frac{162 + 108 - 72 - 48 - 25}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.13

Addiere $162$ und $108$ .

$f' (- 3) = \frac{270 - 72 - 48 - 25}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.14

Subtrahiere $72$ von $270$ .

$f' (- 3) = \frac{198 - 48 - 25}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.15

Subtrahiere $48$ von $198$ .

$f' (- 3) = \frac{150 - 25}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.2.16

Subtrahiere $25$ von $150$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{{(- 3 - 2)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{{(- 5)}^{2} | (2 - 3) (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.3.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{{(- 5)}^{2} | - 1 (2 - (- 3)) |}$

Schritt 7.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{{(- 5)}^{2} | - 1 (2 + 3) |}$

Schritt 7.2.3.4

Addiere $2$ und $3$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{{(- 5)}^{2} | - 1 \cdot 5 |}$

Schritt 7.2.3.5

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{25 | - 1 \cdot 5 |}$

Schritt 7.2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{25 | - 5 |}$

Schritt 7.2.3.7

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 5$ und $0$ ist $5$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{25 \cdot 5}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$f' (- 3) = \frac{125}{125}$

Schritt 7.2.4.2

Dividiere $125$ durch $125$ .

$f' (- 3) = 1$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 7.3

Bei $x = - 3$ ist die Ableitung $1$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 2)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = \frac{2 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} |}{{((0) - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (0) = \frac{2 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} |}{{((0) - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot 0 - 4 \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 4 \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 4 \cdot 0 - 8 \cdot 0^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 - 8 \cdot 0^{2} + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 - 8 \cdot 0 + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 16 (0) - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.7

Mutltipliziere $16$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 - 8 \cdot 0^{2} + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.8

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.8.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 - 8 \cdot 0 + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.8.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 + 0 + 0^{4} |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.8.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 + 0 + 0 |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.9

Addiere $16$ und $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 + 0 |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.10

Addiere $16$ und $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - | 16 |}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.11

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $16$ ist $16$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - 1 \cdot 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 - 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.13

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 + 0 - 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.14

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 0 - 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.15

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.2.16

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{{(0 - 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.3.1

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{{(- 2)}^{2} | (2 + 0) (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.3.2

Addiere $2$ und $0$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{{(- 2)}^{2} | 2 (2 - (0)) |}$

Schritt 8.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{{(- 2)}^{2} | 2 (2 + 0) |}$

Schritt 8.2.3.4

Addiere $2$ und $0$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{{(- 2)}^{2} | 2 \cdot 2 |}$

Schritt 8.2.3.5

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{4 | 2 \cdot 2 |}$

Schritt 8.2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{4 | 4 |}$

Schritt 8.2.3.7

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{4 \cdot 4}$

Schritt 8.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f' (0) = \frac{- 16}{16}$

Schritt 8.2.4.2

Dividiere $- 16$ durch $16$ .

$f' (0) = - 1$

Schritt 8.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 8.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $- 1$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 2, 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 2, 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = \frac{2 {(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} - 8 {(3)}^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 {(3)}^{2} + {(3)}^{4} |}{{((3) - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (3) = \frac{2 {(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} - 8 {(3)}^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 {(3)}^{2} + {(3)}^{4} |}{{((3) - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f' (3) = \frac{2 \cdot 81 - 4 \cdot 3^{3} - 8 \cdot 3^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $81$ .

$f' (3) = \frac{162 - 4 \cdot 3^{3} - 8 \cdot 3^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f' (3) = \frac{162 - 4 \cdot 27 - 8 \cdot 3^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $27$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 8 \cdot 3^{2} + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 8 \cdot 9 + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $9$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 16 (3) - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.7

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | 16 - 8 \cdot 3^{2} + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.2.8.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | 16 - 8 \cdot 9 + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.8.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $9$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | 16 - 72 + 3^{4} |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.8.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | 16 - 72 + 81 |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.9

Subtrahiere $72$ von $16$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | - 56 + 81 |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.10

Addiere $- 56$ und $81$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - | 25 |}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.11

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $25$ ist $25$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - 1 \cdot 25}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f' (3) = \frac{162 - 108 - 72 + 48 - 25}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.13

Subtrahiere $108$ von $162$ .

$f' (3) = \frac{54 - 72 + 48 - 25}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.14

Subtrahiere $72$ von $54$ .

$f' (3) = \frac{- 18 + 48 - 25}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.15

Addiere $- 18$ und $48$ .

$f' (3) = \frac{30 - 25}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.2.16

Subtrahiere $25$ von $30$ .

$f' (3) = \frac{5}{{(3 - 2)}^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f' (3) = \frac{5}{1^{2} | (2 + 3) (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.3.2

Addiere $2$ und $3$ .

$f' (3) = \frac{5}{1^{2} | 5 (2 - (3)) |}$

Schritt 9.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (3) = \frac{5}{1^{2} | 5 (2 - 3) |}$

Schritt 9.2.3.4

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f' (3) = \frac{5}{1^{2} | 5 \cdot - 1 |}$

Schritt 9.2.3.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (3) = \frac{5}{1 | 5 \cdot - 1 |}$

Schritt 9.2.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f' (3) = \frac{5}{1 | - 5 |}$

Schritt 9.2.3.7

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 5$ und $0$ ist $5$ .

$f' (3) = \frac{5}{1 \cdot 5}$

Schritt 9.2.3.8

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f' (3) = \frac{5}{5}$

Schritt 9.2.4

Dividiere $5$ durch $5$ .

$f' (3) = 1$

Schritt 9.2.5

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 9.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $1$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 2, 2)$

Schritt 11