Analysis Beispiele

$\int_{1}^{\sqrt{x}} \frac{z^{2}}{z^{4} + 1} d z$

Schritt 1

Nehme die Ableitung von $\int_{1}^{\sqrt{x}} \frac{z^{2}}{z^{4} + 1} d z$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 9

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{2}}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{2}}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{1}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 9.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Schritt 10

Schreibe ${\sqrt{x}}^{4}$ als $x^{2}$ um.

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Schritt 10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 1}$

Schritt 10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 1}$

Schritt 10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{4}{2}} + 1}$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 1}$

Schritt 10.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 1}$

Schritt 10.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 1}$

Schritt 10.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2}{1}} + 1}$

Schritt 10.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{2} + 1}$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Schritt 12

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

Schritt 13

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 13.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

Schritt 13.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

Schritt 13.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

Schritt 13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

Schritt 13.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$