Analysis Beispiele

$\frac{4 t}{\sqrt[3]{t^{2} + 3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{t^{2} + 3}$ als ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [\frac{4 t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ und $g (t) = t^{2} + 3$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{2} + 3$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{2} + 3$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3} {(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{{(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 9.3

Bringe ${(t^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - t (\frac{1}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 9.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ und $t$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 12

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.1

Addiere $2 t$ und $0$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 t)}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} t}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.4

Kombiniere $\frac{- 2 t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ und $t$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t \cdot t}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 14

Potenziere $t$ mit $1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (t^{1} t)}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15

Potenziere $t$ mit $1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t^{1 + 1}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 17

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19

Um ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$4 \frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 20

Kombiniere ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 22

Multipliziere ${(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 22.1

Bewege ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 22.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 22.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 22.4

Addiere $2$ und $1$ .

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 22.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$4 \frac{\frac{{(t^{2} + 3)}^{1} \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 23

Vereinfache ${(t^{2} + 3)}^{1} \cdot 3$ .

$4 \frac{\frac{(t^{2} + 3) \cdot 3 - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 24

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t^{2} + 3$ .

$4 \frac{\frac{3 \cdot (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 25

Schreibe $\frac{\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ als ein Produkt um.

$4 (\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 26

Mutltipliziere $\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{1}{{(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 27

Multipliziere ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 27.1

Bewege ${(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 ({(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 27.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Schritt 27.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Schritt 27.4

Addiere $2$ und $2$ .

$4 \frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 28

Kombiniere $4$ und $\frac{3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (3 (t^{2} + 3) - 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 29

Vereinfache.

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Schritt 29.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (3 t^{2} + 3 \cdot 3 - 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 29.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (3 t^{2}) + 4 (3 \cdot 3) + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 29.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 29.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 29.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 t^{2} + 4 (3 \cdot 3) + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 29.3.1.2

Multipliziere $4 (3 \cdot 3)$ .

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Schritt 29.3.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{12 t^{2} + 4 \cdot 9 + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 29.3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\frac{12 t^{2} + 36 + 4 (- 2 t^{2})}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 29.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{12 t^{2} + 36 - 8 t^{2}}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 29.3.2

Subtrahiere $8 t^{2}$ von $12 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{2} + 36}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 29.4

Faktorisiere $4$ aus $4 t^{2} + 36$ heraus.

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Schritt 29.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 t^{2}$ heraus.

$\frac{4 (t^{2}) + 36}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 29.4.2

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$\frac{4 t^{2} + 4 \cdot 9}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 29.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 t^{2} + 4 \cdot 9$ heraus.

$\frac{4 (t^{2} + 9)}{3 {(t^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$