Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 6 x}{x^{4}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{5} - x^{3} + 6 x}{x^{4}} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - x^{3} + 6 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x^{4} - x^{3} + 6 x}{x^{4}} d x$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + 6 x}{x^{4}} d x$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot 6}{x^{4}} d x$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ heraus.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 6}{x^{4}} d x$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 6$ heraus.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 6)}{x^{4}} d x$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 6)}{x \cdot x^{3}} d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 6)}{x \cdot x^{3}} d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{x^{4} - x^{2} + 6}{x^{3}} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 6) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 6) x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 6) x^{- 3} d x$

Schritt 5

Multipliziere $(x^{4} - x^{2} + 6) x^{- 3}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{4} - x^{2}) x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{4} x^{- 3} - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{4 - 3} - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

Schritt 5.4

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\int x^{1} - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$\int x - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

Schritt 5.6

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int x - (x^{2} x^{- 3}) + 6 x^{- 3} d x$

Schritt 5.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x - x^{2 - 3} + 6 x^{- 3} d x$

Schritt 5.8

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\int x - x^{- 1} + 6 x^{- 3} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int - x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 3} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 3} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 3} d x$

Schritt 9

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + \int 6 x^{- 3} d x$

Schritt 10

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{- 3} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 12.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 12.3

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - 6 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 12.3.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 6}{2 x^{2}} + C$

Schritt 12.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 12.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{2}} + C$

Schritt 12.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{2})} + C$

Schritt 12.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{2}} + C$

Schritt 12.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 3}{x^{2}} + C$

Schritt 12.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{3}{x^{2}} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 6 x}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{3}{x^{2}} + C$