Analysis Beispiele

$x^{5} - 11 x^{3} + 28 x = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - 11 x^{3} + 28 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} - 11 x^{3} + 28 x = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 11 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- 11 x^{2}) + 28 x = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $28 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- 11 x^{2}) + x \cdot 28 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (- 11 x^{2})$ heraus.

$x (x^{4} - 11 x^{2}) + x \cdot 28 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - 11 x^{2}) + x \cdot 28$ heraus.

$x (x^{4} - 11 x^{2} + 28) = 0$

Schritt 2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} + 28) = 0$

Schritt 3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} - 11 u + 28) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $u^{2} - 11 u + 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $28$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 7, - 4$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((u - 7) (u - 4)) = 0$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 7) (x^{2} - 4)) = 0$

Schritt 6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x ((x^{2} - 7) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Schritt 7

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x ((x^{2} - 7) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Schritt 7.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x^{2} - 7) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x^{2} - 7) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 7 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 9

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 10

Setze $x^{2} - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Setze $x^{2} - 7$ gleich $0$ .

$x^{2} - 7 = 0$

Schritt 10.2

Löse $x^{2} - 7 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 7$

Schritt 10.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{7}$

Schritt 10.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{7}$

Schritt 10.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{7}$

Schritt 10.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Schritt 11

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 12

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} - 7) (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{7}, - \sqrt{7}, - 2, 2$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, \sqrt{7}, - \sqrt{7}, - 2, 2$

Dezimalform:

$x = 0, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots, - 2, 2$