Analysis Beispiele

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{y^{2}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{y^{2}} = x$ um.

$\sqrt[3]{y^{2}} = x$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3} = x^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y^{2}}$ als $y^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{2}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = x^{3}$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{3}}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $\pm \sqrt{x^{3}}$ .

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus.

$y = \pm \sqrt{x^{2} x}$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm x \sqrt{x}$

Schritt 2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = x \sqrt{x}$

Schritt 2.4.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - x \sqrt{x}$

Schritt 2.4.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

$y = x \sqrt{x}$

$y = - x \sqrt{x}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ ist.

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Schritt 4.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ und $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ und vergleiche sie.

Schritt 4.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ .

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Schritt 4.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $x \sqrt{x}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 4.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ .

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Schritt 4.4.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 4.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ der Wertebereich von $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ der Definitionsbereich von $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$ die inverse Funktion von $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = x \sqrt{x}, - x \sqrt{x}$

Schritt 5