Analysis Beispiele

$y = x^{\ln (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\ln (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $x^{\ln (x)}$ als $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Schritt 3.1.2

Zerlege $\ln (x^{\ln (x)})$ durch Herausziehen von $\ln (x)$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Schritt 3.2

Potenziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Schritt 3.3

Potenziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln^{2} (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 3.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 3.8

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{1}{x})$

Schritt 3.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.9.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{2}{x} \ln (x))$

Schritt 3.9.2

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{2 \ln (x)}{x}$

Schritt 3.9.3

Kombiniere $e^{\ln^{2} (x)}$ und $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x))}{x}$

Schritt 3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

Schritt 3.10.2

Multipliziere $2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

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Schritt 3.10.2.1

Stelle $\ln (x)$ und $2$ um.

$\frac{2 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Schritt 3.10.2.2

Vereinfache $2 \cdot \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Schritt 3.10.3

Stelle die Faktoren in $\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ um.

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$