Analysis Beispiele

$\frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\ln (x)}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 - \ln (x) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (x) = - 1$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Schritt 3.3.3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Schritt 3.3.4

Schreibe $\ln (x) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Schritt 3.3.5

Schreibe die Gleichung als $x = e^{1}$ um.

$x = e$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $e$ .

$e$

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.3

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 5.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, e) \cup (e, \infty)$

Schritt 7

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(0, e)$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, e)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.35914085$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{{(1.35914085)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Potenziere $1.35914085$ mit $2$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{1.84726385}$

Schritt 8.2.2

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (1.35914085)}{1.84726385}$

Schritt 8.2.3

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $1.35914085$ ist ungefähr $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 1 \cdot 0.30685277}{1.84726385}$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 0.30685277}{1.84726385}$

Schritt 8.2.5

Subtrahiere $0.30685277$ von $1$ .

$f' (1.35914085) = \frac{0.69314722}{1.84726385}$

Schritt 8.2.6

Dividiere $0.69314722$ durch $1.84726385$ .

$f' (1.35914085) = 0.37522914$

Schritt 8.2.7

Die endgültige Lösung ist $0.37522914$ .

$0.37522914$

Schritt 8.3

Bei $x = 1.35914085$ ist die Ableitung $0.37522914$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, e)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, e)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(0, e), (e, \infty)$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(e, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.7182817$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{{(3.7182817)}^{2}}$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Potenziere $3.7182817$ mit $2$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{13.8256188}$

Schritt 10.2.2

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (3.7182817)}{13.8256188}$

Schritt 10.2.3

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $3.7182817$ ist ungefähr $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1 \cdot 1.31326165}{13.8256188}$

Schritt 10.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1.31326165}{13.8256188}$

Schritt 10.2.5

Subtrahiere $1.31326165$ von $1$ .

$f' (3.7182817) = \frac{- 0.31326165}{13.8256188}$

Schritt 10.2.6

Dividiere $- 0.31326165$ durch $13.8256188$ .

$f' (3.7182817) = - 0.02265805$

Schritt 10.2.7

Die endgültige Lösung ist $- 0.02265805$ .

$- 0.02265805$

Schritt 10.3

Bei $x = 3.7182817$ ist die Ableitung $- 0.02265805$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(e, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(e, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 11

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, e)$

Abfallend im Intervall: $(e, \infty)$

Schritt 12