Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{4} {(i^{2} + 1)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(i^{2} + 1)}^{2}$ als $(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$ um.

$(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$i^{2} (i^{2} + 1) + 1 (i^{2} + 1)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 1 + 1 (i^{2} + 1)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $i^{2}$ mit $i^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$i^{2 + 2} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$i^{4} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$i^{4} + i^{2} + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$i^{4} + i^{2} + i^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$i^{4} + i^{2} + i^{2} + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $i^{2}$ und $i^{2}$ .

$i^{4} + 2 i^{2} + 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 1}^{4} i^{4} + 2 i^{2} + 1$

Schritt 2

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $i$ .

$1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Potenziere $1$ mit $4$ .

$1 + 2 \cdot 1^{2} + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.2

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 + 2 \cdot 1 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 + 2 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$3 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.5

Addiere $3$ und $1$ .

$4 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.6

Potenziere $2$ mit $4$ .

$4 + 16 + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 + 16 + 2 \cdot 4 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 + 16 + 8 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.9

Addiere $16$ und $8$ .

$4 + 24 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.10

Addiere $24$ und $1$ .

$4 + 25 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.11

Addiere $4$ und $25$ .

$29 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.12

Potenziere $3$ mit $4$ .

$29 + 81 + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.13

Potenziere $3$ mit $2$ .

$29 + 81 + 2 \cdot 9 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.14

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$29 + 81 + 18 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.15

Addiere $81$ und $18$ .

$29 + 99 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.16

Addiere $99$ und $1$ .

$29 + 100 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.17

Addiere $29$ und $100$ .

$129 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.18

Potenziere $4$ mit $4$ .

$129 + 256 + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Schritt 3.19

Potenziere $4$ mit $2$ .

$129 + 256 + 2 \cdot 16 + 1$

Schritt 3.20

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$129 + 256 + 32 + 1$

Schritt 3.21

Addiere $256$ und $32$ .

$129 + 288 + 1$

Schritt 3.22

Addiere $288$ und $1$ .

$129 + 289$

Schritt 3.23

Addiere $129$ und $289$ .

$418$