Analysis Beispiele

$y = x^{3}$ ; $[0, 5]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{3} = 0$

Schritt 1.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 1.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{5} x^{3} d x - \int_{0}^{5} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $5$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{5} x^{3} - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $x^{3}$ .

$\int_{0}^{5} x^{3} d x$

Schritt 3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{5}$

Schritt 3.4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Berechne $\frac{1}{4} x^{4}$ bei $5$ und $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 5^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Potenziere $5$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 625 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Schritt 3.4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $625$ .

$\frac{625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Schritt 3.4.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0$

Schritt 3.4.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{625}{4} + 0 (\frac{1}{4})$

Schritt 3.4.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{625}{4} + 0$

Schritt 3.4.2.6

Addiere $\frac{625}{4}$ und $0$ .

$\frac{625}{4}$

Schritt 4