Analysis Beispiele

$5 e^{3 t} = 8 e^{2 t}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5 e^{3 t}) = \ln (8 e^{2 t})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (5 e^{3 t})$ als $\ln (5) + \ln (e^{3 t})$ um.

$\ln (5) + \ln (e^{3 t}) = \ln (8 e^{2 t})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (e^{3 t})$ durch Herausziehen von $3 t$ aus dem Logarithmus.

$\ln (5) + 3 t \ln (e) = \ln (8 e^{2 t})$

Schritt 2.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (5) + 3 t \cdot 1 = \ln (8 e^{2 t})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\ln (5) + 3 t = \ln (8 e^{2 t})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (8 e^{2 t})$ als $\ln (8) + \ln (e^{2 t})$ um.

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + \ln (e^{2 t})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (e^{2 t})$ durch Herausziehen von $2 t$ aus dem Logarithmus.

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + 2 t \ln (e)$

Schritt 3.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + 2 t \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + 2 t$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (5) - \ln (8) = - 3 t + 2 t$

Schritt 5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5}{8}) = - 3 t + 2 t$

Schritt 6

Addiere $- 3 t$ und $2 t$ .

$\ln (\frac{5}{8}) = - t$

Schritt 7

Da $t$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- t = \ln (\frac{5}{8})$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $- t = \ln (\frac{5}{8})$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $- t = \ln (\frac{5}{8})$ durch $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{t}{1} = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$ .

$t = - 1 \cdot \ln (\frac{5}{8})$

Schritt 8.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (\frac{5}{8})$ als $- \ln (\frac{5}{8})$ um.

$t = - \ln (\frac{5}{8})$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = - \ln (\frac{5}{8})$

Dezimalform:

$t = 0.47000362 \dots$