Analysis Beispiele

$y = - 3 x^{2} - x$ , $[5, 6]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$- 3 x^{2} - x = 0$

Schritt 1.2

Löse $- 3 x^{2} - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- 3 x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- x (3 x) - x = 0$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x$ heraus.

$- x (3 x) - x \cdot 1 = 0$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (3 x) - x (1)$ heraus.

$- x (3 x + 1) = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 x + 1 = 0 + y = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x (3 x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{1}{3}$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(- \frac{1}{3}, 0)$

$(0, 0)$

$(- \frac{1}{3}, 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{5}^{6} 0 d x - \int_{5}^{6} - 3 x^{2} - x d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $5$ und $6$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{5}^{6} 0 - (- 3 x^{2} - x) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $- 3 x^{2} - x$ von $0$ .

$\int_{5}^{6} - (- 3 x^{2} - x) d x$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{5}^{6} - (- 3 x^{2}) + x d x$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\int_{5}^{6} 3 x^{2} + x d x$

Schritt 3.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{5}^{6} 3 x^{2} d x + \int_{5}^{6} x d x$

Schritt 3.6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{5}^{6} x^{2} d x + \int_{5}^{6} x d x$

Schritt 3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{5}^{6}) + \int_{5}^{6} x d x$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{5}^{6}) + \int_{5}^{6} x d x$

Schritt 3.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{5}^{6}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{6}$

Schritt 3.10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $6$ und $5$ .

$3 ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{6}$

Schritt 3.10.2

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $6$ und $5$ .

$3 (\frac{6^{3}}{3} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3

Vereinfache.

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Schritt 3.10.3.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$3 (\frac{216}{3} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $216$ und $3$ .

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Schritt 3.10.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $216$ heraus.

$3 (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$3 (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{72}{1} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.2.2.4

Dividiere $72$ durch $1$ .

$3 (72 - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$3 (72 - \frac{125}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.4

Um $72$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 (72 \cdot \frac{3}{3} - \frac{125}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.5

Kombiniere $72$ und $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{72 \cdot 3}{3} - \frac{125}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{72 \cdot 3 - 125}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.3.7.1

Mutltipliziere $72$ mit $3$ .

$3 \frac{216 - 125}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.7.2

Subtrahiere $125$ von $216$ .

$3 (\frac{91}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.8

Kombiniere $3$ und $\frac{91}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 91}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.9

Mutltipliziere $3$ mit $91$ .

$\frac{273}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $273$ und $3$ .

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Schritt 3.10.3.10.1

Faktorisiere $3$ aus $273$ heraus.

$\frac{3 \cdot 91}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.3.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 91}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 91}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{91}{1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.10.2.4

Dividiere $91$ durch $1$ .

$91 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.11

Potenziere $6$ mit $2$ .

$91 + \frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $36$ .

$91 + \frac{36}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $2$ .

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Schritt 3.10.3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$91 + \frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.3.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$91 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$91 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$91 + \frac{18}{1} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.13.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$91 + 18 - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Schritt 3.10.3.14

Potenziere $5$ mit $2$ .

$91 + 18 - \frac{1}{2} \cdot 25$

Schritt 3.10.3.15

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$91 + 18 - 25 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.10.3.16

Kombiniere $- 25$ und $\frac{1}{2}$ .

$91 + 18 + \frac{- 25}{2}$

Schritt 3.10.3.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$91 + 18 - \frac{25}{2}$

Schritt 3.10.3.18

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$91 + 18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}$

Schritt 3.10.3.19

Kombiniere $18$ und $\frac{2}{2}$ .

$91 + \frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}$

Schritt 3.10.3.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$91 + \frac{18 \cdot 2 - 25}{2}$

Schritt 3.10.3.21

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.3.21.1

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$91 + \frac{36 - 25}{2}$

Schritt 3.10.3.21.2

Subtrahiere $25$ von $36$ .

$91 + \frac{11}{2}$

Schritt 3.10.3.22

Um $91$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$91 \cdot \frac{2}{2} + \frac{11}{2}$

Schritt 3.10.3.23

Kombiniere $91$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{91 \cdot 2}{2} + \frac{11}{2}$

Schritt 3.10.3.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{91 \cdot 2 + 11}{2}$

Schritt 3.10.3.25

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.3.25.1

Mutltipliziere $91$ mit $2$ .

$\frac{182 + 11}{2}$

Schritt 3.10.3.25.2

Addiere $182$ und $11$ .

$\frac{193}{2}$

Schritt 4