Analysis Beispiele

$\ln (e^{6}) - 2 \ln (e^{2}) = \log_{3} (x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\log_{3} (x) = \ln (e^{6}) - 2 \ln (e^{2})$ um.

$\log_{3} (x) = \ln (e^{6}) - 2 \ln (e^{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\ln (e^{6}) - 2 \ln (e^{2})$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $6$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\log_{3} (x) = 6 \ln (e) - 2 \ln (e^{2})$

Schritt 2.1.1.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\log_{3} (x) = 6 \cdot 1 - 2 \ln (e^{2})$

Schritt 2.1.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\log_{3} (x) = 6 - 2 \ln (e^{2})$

Schritt 2.1.1.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $2$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\log_{3} (x) = 6 - 2 (2 \ln (e))$

Schritt 2.1.1.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\log_{3} (x) = 6 - 2 (2 \cdot 1)$

Schritt 2.1.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\log_{3} (x) = 6 - 2 \cdot 2$

Schritt 2.1.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\log_{3} (x) = 6 - 4$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$\log_{3} (x) = 2$

Schritt 3

Schreibe $\log_{3} (x) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{2} = x$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $x = 3^{2}$ um.

$x = 3^{2}$

Schritt 4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = 9$