Analysis Beispiele

$y = x^{3}$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 3$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = x^{3}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{3 \cdot 2}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$V = x^{6}$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$V = π \frac{1}{7} x^{7}]_{1}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $x^{7}$ .

$V = π \frac{x^{7}}{7}]_{1}^{3}$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{x^{7}}{7}$ bei $3$ und $1$ .

$V = π ((\frac{3^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $3$ mit $7$ .

$V = π (\frac{2187}{7} - \frac{1^{7}}{7})$

Schritt 4.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (\frac{2187}{7} - \frac{1}{7})$

Schritt 4.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{2187 - 1}{7})$

Schritt 4.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2187$ .

$V = π (\frac{2186}{7})$

Schritt 4.2.2.5

Kombiniere $π$ und $\frac{2186}{7}$ .

$V = \frac{π \cdot 2186}{7}$

Schritt 4.2.2.6

Bringe $2186$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{2186 π}{7}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{2186 π}{7}$

Dezimalform:

$V = 981.07450582 \dots$

Schritt 6