Analysis Beispiele

$y = x (x - 2)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x (x - 2))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 2$ .

$x \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + (x - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + (x - 2) \cdot 1$

Schritt 3.2.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$x + x - 2$

Schritt 3.2.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x - 2$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 2 x - 2$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2$

Schritt 6

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 6.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 2$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$x = 1$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Entferne die Klammern.

$y = 1 (1 - 2)$

Schritt 7.2

Entferne die Klammern.

$y = (1) ((1) - 2)$

Schritt 7.3

Vereinfache $(1) ((1) - 2)$ .

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $(1) - 2$ mit $1$ .

$y = (1) - 2$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y = - 1$

Schritt 8

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(1, - 1)$

Schritt 9