Analysis Beispiele

$y = x^{4} + 8$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{4} + 8)$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 3.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Schritt 3.4

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$4 x^{3}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 4 x^{3}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3}$

Schritt 6

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.1.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 6.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.3.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} + 8$

Schritt 7.2

Vereinfache $0^{4} + 8$ .

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Schritt 7.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 8$

Schritt 7.2.2

Addiere $0$ und $8$ .

$y = 8$

Schritt 8

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 8)$

Schritt 9