Analysis Beispiele

$- 3 x^{2} + 12 y^{2} = 84$

Schritt 1

Addiere $3 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$ durch $12$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$ durch $12$ .

$\frac{12 y^{2}}{12} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 y^{2}}{12} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Dividiere $84$ durch $12$ .

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{12}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$y^{2} = 7 + \frac{3 (x^{2})}{12}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 7 + \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{7 + \frac{x^{2}}{4}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{7 + \frac{x^{2}}{4}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{7 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

Schritt 4.2

Kombiniere $7$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{7 \cdot 4 + x^{2}}{4}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{28 + x^{2}}{4}}$

Schritt 4.5

Schreibe $\frac{28 + x^{2}}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (28 + x^{2})$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $28 + x^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{4}}$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 4.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (28 + x^{2})}$

Schritt 4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{28 + x^{2}}$

Schritt 4.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{28 + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Schritt 6

Setze den Radikanden in $\sqrt{28 + x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$28 + x^{2} \geq 0$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Subtrahiere $28$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq - 28$

Schritt 7.2

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 8

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 9

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \leq - \sqrt{7}, y \geq \sqrt{7}}$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Wertebereich: $(- \infty, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty), {y | y \leq - \sqrt{7}, y \geq \sqrt{7}}$

Schritt 11