Analysis Beispiele

$y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$

Schritt 1

Set each solution of $y^{3} - 27 y$ as a function of $x$ .

$y = x^{2} - 90 \to f (x) = x^{2} - 90$

Schritt 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 27 y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 90)$

Schritt 2.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} - 27 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Schritt 2.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Schritt 2.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 27 y$ nach $x$ gleich $- 27 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' - 27 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y' - 27 y'$

Schritt 2.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 90$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 90]$

Schritt 2.3.3

Da $- 90$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 90$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 y^{2} y' - 27 y' = 2 x$

Schritt 2.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y' - 27 y'$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$3 y' y^{2} - 27 y' = 2 x$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $- 27 y'$ heraus.

$3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9 = 2 x$

Schritt 2.5.1.3

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9$ heraus.

$3 y' (y^{2} - 9) = 2 x$

Schritt 2.5.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$3 y' (y^{2} - 3^{2}) = 2 x$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.5.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 3$ .

$3 y' ((y + 3) (y - 3)) = 2 x$

Schritt 2.5.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$

Schritt 2.5.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ durch $3 (y + 3) (y - 3)$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ durch $3 (y + 3) (y - 3)$ .

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Schritt 2.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 3$ .

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Schritt 2.5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Schritt 2.5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Schritt 2.5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 3$ .

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Schritt 2.5.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Schritt 2.5.4.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Schritt 2.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x = 0$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 4

Solve the function $f (x) = x^{2} - 90$ at $x = 0$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} - 90$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 90$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $90$ von $0$ .

$f (0) = - 90$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 90$ .

$- 90$

Schritt 5

The horizontal tangent lines are $y = - 90$

$y = - 90$

Schritt 6