Analysis Beispiele

$f (x, y) = 8 x^{3} y - 7 y^{2} + 2 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{3} y - 7 y^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{3} y]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $8 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{3} y$ nach $x$ gleich $8 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$8 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$24 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.3

Da $- 7 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$24 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 y x^{2} + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$24 y x^{2} + 0 + 2 \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$24 y x^{2} + 0 + 2$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $24 y x^{2}$ und $0$ .

$24 y x^{2} + 2$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 24 x^{2} y + 2$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $24 x^{2} y + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [24 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $24 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x^{2} y$ nach $x$ gleich $24 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$24 y (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$48 y x + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$48 y x + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $48 y x$ und $0$ .

$48 y x$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren von $48 y x$ um.

$f'' (x) = 48 x y$