Analysis Beispiele

$y = \sin (x)$ , $[- 2, 4]$

Schritt 1

Das quadratische Mittel (root mean square, RMS) einer Funktion $f$ in einem angegebenen Intervall $[a, b]$ ist die Quadratwurzel des arithmetischen Mittels (Durchschnitts) der Quadrate der ursprünglichen Werte.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Schritt 2

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für das Quadratmittel einer Funktion ein.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{4 + 2} \cdot (\int_{- 2}^{4} \sin^{2} (x) d x)}$

Schritt 3

Berechne das Integral.

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Schritt 3.1

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (x)$ als $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int_{- 2}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Schritt 3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int_{- 2}^{4} d x + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Schritt 3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 2}^{4} \cos (2 x) d x)$

Schritt 3.6

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.6.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.6.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 3.6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 3.6.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot - 2$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$u_{lower} = - 4$

Schritt 3.6.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Schritt 3.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$u_{upper} = 8$

Schritt 3.6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 8$

Schritt 3.6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 3.7

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 3.8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{8} \cos (u) d u))$

Schritt 3.9

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Schritt 3.10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Berechne $x$ bei $4$ und $- 2$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Schritt 3.10.2

Berechne $\sin (u)$ bei $8$ und $- 4$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (- 4)))$

Schritt 3.10.3

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (- 4)))$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.1.1.1

Berechne $\sin (8)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - \sin (- 4)))$

Schritt 3.11.1.1.2

Berechne $\sin (- 4)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 1 \cdot 0.75680249))$

Schritt 3.11.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.75680249$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 0.75680249))$

Schritt 3.11.1.2

Subtrahiere $0.75680249$ von $0.98935824$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} \cdot 0.23255575)$

Schritt 3.11.1.3

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot 0.23255575$ .

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Schritt 3.11.1.3.1

Mutltipliziere $0.23255575$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.23255575 (\frac{1}{2}))$

Schritt 3.11.1.3.2

Kombiniere $- 0.23255575$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (6 + \frac{- 0.23255575}{2})$

Schritt 3.11.1.4

Dividiere $- 0.23255575$ durch $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.11627787)$

Schritt 3.11.2

Subtrahiere $0.11627787$ von $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 5.88372212$

Schritt 3.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $5.88372212$ .

$\frac{5.88372212}{2}$

Schritt 3.11.4

Dividiere $5.88372212$ durch $2$ .

$2.94186106$

Schritt 4

Vereinfache die Formel für das Quadratmittel.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{4 + 2}$ und $2.94186106$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{4 + 2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1

Addiere $4$ und $2$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{6}}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $2.94186106$ durch $6$ .

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Dezimalform:

$f_{rms} = 0.70022151 \dots$