Analysis Beispiele

$y = x^{4}$ , $[- 1, 1]$

Schritt 1

Das quadratische Mittel (root mean square, RMS) einer Funktion $f$ in einem angegebenen Intervall $[a, b]$ ist die Quadratwurzel des arithmetischen Mittels (Durchschnitts) der Quadrate der ursprünglichen Werte.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Schritt 2

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für das Quadratmittel einer Funktion ein.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(x^{4})}^{2} d x)}$

Schritt 3

Berechne das Integral.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{1} x^{4 \cdot 2} d x$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\int_{- 1}^{1} x^{8} d x$

Schritt 3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{8}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{9}]_{- 1}^{1}$

Schritt 3.3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Berechne $\frac{1}{9} x^{9}$ bei $1$ und $- 1$ .

$(\frac{1}{9} \cdot 1^{9}) - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{9} \cdot 1 - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Schritt 3.3.2.3

Potenziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 1$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{9})$

Schritt 3.3.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{1}{9}$

Schritt 3.3.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 1}{9}$

Schritt 3.3.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{9}$

Schritt 4

Vereinfache die Formel für das Quadratmittel.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + 1}$ mit $\frac{2}{9}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{(1 + 1) \cdot 9}}$

Schritt 4.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2}{2 \cdot 9}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{9}}$

Schritt 4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{9}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ um.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Schritt 4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{9}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 4.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f_{rms} = \frac{1}{3}$

Schritt 5