Analysis Beispiele

$\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$

Schritt 1

Nehme die Ableitung von $\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Schritt 9

Schreibe ${\sqrt{x}}^{7}$ als $\sqrt{x^{7}}$ um.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 \sqrt{x^{7}})$

Schritt 10

Kombiniere $18$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x^{7}}$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $\sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{18 \sqrt{x^{7}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Faktorisiere $2$ aus $18 \sqrt{x^{7}}$ heraus.

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14

Schreibe $\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ als $\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$ um.

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Schritt 14.1

Schreibe $x^{7}$ als ${(x^{3})}^{2} x$ um.

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Schritt 14.1.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus.

$\frac{9 \sqrt{x^{6} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.1.2

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

$\frac{9 \sqrt{{(x^{3})}^{2} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9 (x^{3} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 x^{3 + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{6 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.5.2

Addiere $6$ und $1$ .

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$9 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 18

Multipliziere $x^{\frac{7}{2}}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 18.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{7}{2}})$

Schritt 18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{7}{2}}$

Schritt 18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 x^{\frac{- 1 + 7}{2}}$

Schritt 18.4

Addiere $- 1$ und $7$ .

$9 x^{\frac{6}{2}}$

Schritt 18.5

Dividiere $6$ durch $2$ .

$9 x^{3}$