Analysis Beispiele

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \cot (x)} = \sin (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \cot (x)}$

Schritt 2

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $\sin (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Schritt 3.4.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Schritt 3.4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Schritt 3.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus ${\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus ${\sin (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (\cos (x))}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (\cos (x))$ heraus.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}{\sin (x) + \cos (x)}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x) + \cos (x)$ .

$\sin (x)$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \cot (x)} = \sin (x)$ ist eine Identitätsgleichung