Analysis Beispiele

$f (x, y) = 8 x e^{x y}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x e^{x y}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x e^{x y})$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x y}$ .

$f' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} (e^{x y}) + e^{x y} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$f' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x y)) + e^{x y} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = 8 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (x y)) + e^{x y} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$f' (x) = 8 (x (e^{x y} \frac{d}{d x} (x y)) + e^{x y} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 8 (x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} (x))) + e^{x y} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 8 (x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$f' (x) = 8 (x (e^{x y} y) + e^{x y} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 8 (x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1)$

Schritt 1.4.5

Mutltipliziere $e^{x y}$ mit $1$ .

$f' (x) = 8 (x (e^{x y} y) + e^{x y})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 8 (x (e^{x y} y)) + 8 e^{x y}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 8 e^{x y} x y + 8 e^{x y}$

Schritt 1.5.3

Stelle die Faktoren in $8 e^{x y} x y + 8 e^{x y}$ um.

$f' (x) = 8 x y e^{x y} + 8 e^{x y}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x y e^{x y} + 8 e^{x y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x y e^{x y}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x y}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x y e^{x y}) + \frac{d}{d x} (8 e^{x y})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x y e^{x y}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $8 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x y e^{x y}$ nach $x$ gleich $8 y \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

$f'' (x) = 8 y \frac{d}{d x} (x e^{x y}) + \frac{d}{d x} (8 e^{x y})$

Schritt 2.2.2

$f'' (x) = 8 y (x \frac{d}{d x} (e^{x y}) + e^{x y} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (8 e^{x y})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x y$ .

$f'' (x) = 8 y (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x y)) + e^{x y} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (8 e^{x y})$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 8 y (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x y)) + e^{x y} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (8 e^{x y})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x y$ .

$f'' (x) = 8 y (x (e^{x y} \frac{d}{d x} (x y)) + e^{x y} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (8 e^{x y})$

Schritt 2.2.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 y (x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} (x))) + e^{x y} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (8 e^{x y})$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 y (x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (8 e^{x y})$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 y (x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (8 e^{x y})$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 y (x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (8 e^{x y})$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $e^{x y}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 y (x (e^{x y} y) + e^{x y}) + \frac{d}{d x} (8 e^{x y})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 e^{x y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 e^{x y}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [e^{x y}]$ .

$f'' (x) = 8 y (x (e^{x y} y) + e^{x y}) + 8 \frac{d}{d x} (e^{x y})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x y$ .

$f'' (x) = 8 y (x (e^{x y} y) + e^{x y}) + 8 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x y))$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 8 y (x (e^{x y} y) + e^{x y}) + 8 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x y))$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x y$ .

$f'' (x) = 8 y (x (e^{x y} y) + e^{x y}) + 8 (e^{x y} \frac{d}{d x} (x y))$

Schritt 2.3.3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 y (x (e^{x y} y) + e^{x y}) + 8 (e^{x y} (y \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 y (x (e^{x y} y) + e^{x y}) + 8 (e^{x y} (y \cdot 1))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 y (x (e^{x y} y) + e^{x y}) + 8 e^{x y} y$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 8 y (x (e^{x y} y)) + 8 y e^{x y} + 8 e^{x y} y$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 (y \cdot y) (x (e^{x y})) + 8 y e^{x y} + 8 e^{x y} y$

Schritt 2.4.2.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 (y \cdot y) (x (e^{x y})) + 8 y e^{x y} + 8 e^{x y} y$

Schritt 2.4.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 8 y^{1 + 1} (x (e^{x y})) + 8 y e^{x y} + 8 e^{x y} y$

Schritt 2.4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 8 y^{2} (x (e^{x y})) + 8 y e^{x y} + 8 e^{x y} y$

Schritt 2.4.2.5

Addiere $8 y e^{x y}$ und $8 e^{x y} y$ .

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Schritt 2.4.2.5.1

Bewege $e^{x y}$ .

$f'' (x) = 8 y^{2} (x (e^{x y})) + 8 y e^{x y} + 8 y e^{x y}$

Schritt 2.4.2.5.2

Addiere $8 y e^{x y}$ und $8 y e^{x y}$ .

$f'' (x) = 8 y^{2} (x (e^{x y})) + 16 y e^{x y}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 8 e^{x y} y^{2} x + 16 e^{x y} y$

Schritt 2.4.4

Stelle die Faktoren in $8 e^{x y} y^{2} x + 16 e^{x y} y$ um.

$f'' (x) = 8 y^{2} x e^{x y} + 16 y e^{x y}$