Analysis Beispiele

$f (x) = x - 4 x^{- 2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4 x^{- 2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{- 2})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 x^{- 2})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{d}{d x} x^{- 2}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f' (x) = 1 - 4 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = 1 + 8 x^{- 3}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 8 x^{- 3} + 1$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 8 (\frac{1}{x^{3}}) + 1$

Schritt 1.1.3.2.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{8}{x^{3}} + 1$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{8}{x^{3}} + 1$ .

$\frac{8}{x^{3}} + 1$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8}{x^{3}} + 1 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8}{x^{3}} + 1 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{8}{x^{3}} = - 1$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{3}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{3}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{8}{x^{3}} = - 1$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{8}{x^{3}} = - 1$ mit $x^{3}$ .

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$8 = - x^{3}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{3} = 8$ um.

$- x^{3} = 8$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{3} - 8 = 0$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3} - 8$ heraus.

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Schritt 2.5.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- (x^{3}) - 8 = 0$

Schritt 2.5.3.1.2

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$- (x^{3}) - 1 \cdot 8 = 0$

Schritt 2.5.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - 1 (8)$ heraus.

$- (x^{3} + 8) = 0$

Schritt 2.5.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$- (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Schritt 2.5.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$- ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 2.5.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.5.3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Schritt 2.5.3.4.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Schritt 2.5.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Schritt 2.5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Schritt 2.5.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.5.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.5.6

Setze $x^{2} - 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.6.1

Setze $x^{2} - 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Schritt 2.5.6.2

Löse $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 2.5.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.5.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 2.5.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.5.6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 2.5.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 2.5.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.6.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.5.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 2.5.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 2.5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- 2$ .

$- 2$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{8}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{8}{{(- 3)}^{3}} + 1$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f' (- 3) = \frac{8}{- 27} + 1$

Schritt 6.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 3) = - \frac{8}{27} + 1$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 3) = - \frac{8}{27} + \frac{27}{27}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 3) = \frac{- 8 + 27}{27}$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $- 8$ und $27$ .

$f' (- 3) = \frac{19}{27}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{19}{27}$ .

$\frac{19}{27}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 3$ ist die Ableitung $\frac{19}{27}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 2)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{8}{{(- 1)}^{3}} + 1$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = \frac{8}{- 1} + 1$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $8$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - 8 + 1$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 8$ und $1$ .

$f' (- 1) = - 7$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 7$ .

$- 7$

Schritt 7.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- 7$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 2, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 2, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{8}{{(1)}^{3}} + 1$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{8}{1} + 1$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $8$ durch $1$ .

$f' (1) = 8 + 1$

Schritt 8.2.2

Addiere $8$ und $1$ .

$f' (1) = 9$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $9$ .

$9$

Schritt 8.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $9$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 2, 0)$

Schritt 10