Analysis Beispiele

$\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{1 - t^{2}} d t$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{1^{2} - t^{2}} d t]$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{(1 + t) (1 - t)} d t]$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - t$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{(1 + t) (1 - t)} d t]$

Schritt 2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

Schritt 3

Da $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{x} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ nach $x$ gleich $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- x^{- 2})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 6.2

Stelle die Faktoren von $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- \frac{1}{x^{2}})$ um.

$- \frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$

Schritt 6.3

Kombiniere $- \frac{1}{x^{2}}$ und $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ .

$- \frac{\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t}{x^{2}}$