Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t]$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ $0$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{t}}$ mit $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Schritt 2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{t}}$ mit $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} \sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Schritt 2.4.2

Potenziere $\sqrt{t}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} \sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Schritt 2.4.3

Potenziere $\sqrt{t}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} {\sqrt{t}}^{1}} d t \cdot 0]$

Schritt 2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1 + 1}} d t \cdot 0]$

Schritt 2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{2}} d t \cdot 0]$

Schritt 2.4.6

Schreibe ${\sqrt{t}}^{2}$ als $t$ um.

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Schritt 2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t \cdot 0]$

Schritt 2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t \cdot 0]$

Schritt 2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0]$

Schritt 2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0]$

Schritt 2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{1}} d t \cdot 0]$

Schritt 2.4.6.5

Vereinfache.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t \cdot 0]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t$ mit $0$ .

$\frac{d}{d x} [0]$