Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f' (x) = x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$

Schritt 1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$ um.

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x e^{- x}$ aus $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x e^{- x}$ aus $- x^{2} e^{- x}$ heraus.

$x e^{- x} (- x) + 2 x e^{- x} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $x e^{- x}$ aus $2 x e^{- x}$ heraus.

$x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $x e^{- x}$ aus $x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2)$ heraus.

$x e^{- x} (- x + 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $e^{- x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 2.5.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.5.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.6

Setze $- x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $- x + 2$ gleich $0$ .

$- x + 2 = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $- x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.6.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x e^{- x} (- x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, 2$ .

$0, 2$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - {(- 1)}^{2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Schritt 5.2.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = - 1 e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache.

$f' (- 1) = - 1 e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Schritt 5.2.1.5

Schreibe $- 1 e$ als $- e$ um.

$f' (- 1) = - e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 2 \cdot e^{- (- 1)}$

Schritt 5.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 2 e$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2 e$ von $- e$ .

$f' (- 1) = - 3 e$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3 e$ .

$- 3 e$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- 3 e$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - {(1)}^{2} e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - 1 \cdot (1 e^{- (1)}) + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- 1} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Schritt 6.2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 1 \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Schritt 6.2.1.5

Schreibe $- 1 \frac{1}{e}$ als $- \frac{1}{e}$ um.

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- (1)}$

Schritt 6.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- 1}$

Schritt 6.2.1.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{1}{e}$

Schritt 6.2.1.9

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

Schritt 6.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (1) = \frac{- 1 + 2}{e}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f' (1) = \frac{1}{e}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Schritt 6.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $\frac{1}{e}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, 2)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, 2)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = - {(3)}^{2} e^{- (3)} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = - 1 \cdot (9 e^{- (3)}) + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f' (3) = - 9 e^{- (3)} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (3) = - 9 e^{- 3} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Schritt 7.2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - 9 \frac{1}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Schritt 7.2.1.5

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (3) = \frac{- 9}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Schritt 7.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Schritt 7.2.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot e^{- (3)}$

Schritt 7.2.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot e^{- 3}$

Schritt 7.2.1.9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Schritt 7.2.1.10

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + \frac{6}{e^{3}}$

Schritt 7.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (3) = \frac{- 9 + 6}{e^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.2.1

Addiere $- 9$ und $6$ .

$f' (3) = \frac{- 3}{e^{3}}$

Schritt 7.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (3) = - \frac{3}{e^{3}}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{e^{3}}$ .

$- \frac{3}{e^{3}}$

Schritt 7.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $- \frac{3}{e^{3}}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(2, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, 2)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0), (2, \infty)$

Schritt 9