Analysis Beispiele

$f (x) = 8 x - 24$ ; $[2, 6]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$8 x - 24 = 0$

Schritt 1.2

Löse $8 x - 24 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $24$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x = 24$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x = 24$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = 24$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{24}{8}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{24}{8}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{24}{8}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $24$ durch $8$ .

$x = 3$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $3$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(3, 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{2}^{3} 0 d x - \int_{2}^{3} 8 x - 24 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $2$ und $3$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{2}^{3} 0 - (8 x - 24) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $8 x - 24$ von $0$ .

$\int_{2}^{3} - (8 x - 24) d x$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{2}^{3} - (8 x) + 24 d x$

Schritt 3.4

Multipliziere.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$- 8 x - - 24$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 24$ .

$- 8 x + 24$

$\int_{2}^{3} - 8 x + 24 d x$

Schritt 3.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{3} - 8 x d x + \int_{2}^{3} 24 d x$

Schritt 3.6

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$- 8 \int_{2}^{3} x d x + \int_{2}^{3} 24 d x$

Schritt 3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 24 d x$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 24 d x$

Schritt 3.9

Wende die Konstantenregel an.

$- 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + 24 x]_{2}^{3}$

Schritt 3.10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $3$ und $2$ .

$- 8 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 24 x]_{2}^{3}$

Schritt 3.10.2

Berechne $24 x$ bei $3$ und $2$ .

$- 8 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3

Vereinfache.

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Schritt 3.10.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{4}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.10.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2}{1}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - 1 \cdot 2) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - 2) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.5

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 8 (\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 8 \frac{9 - 2 \cdot 2}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.3.8.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 8 \frac{9 - 4}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.8.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$- 8 (\frac{5}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.9

Kombiniere $- 8$ und $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 8 \cdot 5}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.10

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$\frac{- 40}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 40$ und $2$ .

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Schritt 3.10.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $- 40$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 20}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.3.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 20}{2 (1)} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 20}{2 \cdot 1} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 20}{1} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.11.2.4

Dividiere $- 20$ durch $1$ .

$- 20 + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.12

Mutltipliziere $24$ mit $3$ .

$- 20 + 72 - 24 \cdot 2$

Schritt 3.10.3.13

Mutltipliziere $- 24$ mit $2$ .

$- 20 + 72 - 48$

Schritt 3.10.3.14

Subtrahiere $48$ von $72$ .

$- 20 + 24$

Schritt 3.10.3.15

Addiere $- 20$ und $24$ .

$4$

Schritt 4

$A r e a = \int_{3}^{6} 8 x - 24 d x - \int_{3}^{6} 0 d x$

Schritt 5

Integriere, um die Fläche zwischen $3$ und $6$ zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{3}^{6} 8 x - 24 - (0) d x$

Schritt 5.2

Subtrahiere $0$ von $8 x - 24$ .

$\int_{3}^{6} 8 x - 24 d x$

Schritt 5.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{3}^{6} 8 x d x + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Schritt 5.4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int_{3}^{6} x d x + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Schritt 5.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Schritt 5.7

Wende die Konstantenregel an.

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + - 24 x]_{3}^{6}$

Schritt 5.8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.8.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $6$ und $3$ .

$8 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + - 24 x]_{3}^{6}$

Schritt 5.8.2

Berechne $- 24 x$ bei $6$ und $3$ .

$8 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3

Vereinfache.

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Schritt 5.8.3.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$8 (\frac{36}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $2$ .

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Schritt 5.8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$8 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.8.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$8 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 (\frac{18}{1} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.2.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$8 (18 - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$8 (18 - \frac{9}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.4

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.5

Kombiniere $18$ und $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 \frac{18 \cdot 2 - 9}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.8.3.7.1

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$8 \frac{36 - 9}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.7.2

Subtrahiere $9$ von $36$ .

$8 (\frac{27}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.8

Kombiniere $8$ und $\frac{27}{2}$ .

$\frac{8 \cdot 27}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.9

Mutltipliziere $8$ mit $27$ .

$\frac{216}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $216$ und $2$ .

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Schritt 5.8.3.10.1

Faktorisiere $2$ aus $216$ heraus.

$\frac{2 \cdot 108}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.8.3.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 108}{2 (1)} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 108}{2 \cdot 1} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{108}{1} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.10.2.4

Dividiere $108$ durch $1$ .

$108 - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.11

Mutltipliziere $- 24$ mit $6$ .

$108 - 144 + 24 \cdot 3$

Schritt 5.8.3.12

Mutltipliziere $24$ mit $3$ .

$108 - 144 + 72$

Schritt 5.8.3.13

Addiere $- 144$ und $72$ .

$108 - 72$

Schritt 5.8.3.14

Subtrahiere $72$ von $108$ .

$36$

Schritt 6

Addiere $4$ und $36$ .

$40$

Schritt 7