Analysis Beispiele

${(1 - \frac{x}{3})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(1 - \frac{x}{3})}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(1 - \frac{x}{3})}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(1 - \frac{x}{3})}^{2} d x$

Schritt 4

Sei $u = 1 - \frac{x}{3}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{3} d x$ , folglich $- 3 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 1 - \frac{x}{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $1 - \frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{3}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \frac{x}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Schritt 4.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - \frac{1}{3}$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von $0$ .

$- \frac{1}{3}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\int - u^{2} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 5.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$\int - u^{2} (1 \cdot 3) d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int - u^{2} \cdot 3 d u$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int - 3 u^{2} d u$

Schritt 6

Da $- 3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- 3 \int u^{2} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $- 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ als $- 3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ um.

$- 3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} u^{3} + C$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 1}{3} u^{3} + C$

Schritt 8.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} u^{3} + C$

Schritt 8.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} u^{3} + C$

Schritt 8.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} u^{3} + C$

Schritt 8.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- u^{3} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $1 - \frac{x}{3}$ .

$- {(1 - \frac{x}{3})}^{3} + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$- {(1 - \frac{1}{3} x)}^{3} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(1 - \frac{x}{3})}^{2}$ .

$F (x) =$ $- {(1 - \frac{1}{3} x)}^{3} + C$