Analysis Beispiele

$4 x^{- 2} + 6 \sqrt{x} - \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $4 x^{- 2} + 6 \sqrt{x} - \frac{6}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = 4 x^{- 2} + 6 \sqrt{x} - \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 x^{- 2} + 6 \sqrt{x} - \frac{6}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x^{- 2} d x + \int 6 \sqrt{x} d x + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x^{- 2} d x + \int 6 \sqrt{x} d x + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + \int 6 \sqrt{x} d x + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

Schritt 7

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 \int \sqrt{x} d x + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

Schritt 8

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - \int \frac{6}{x^{2}} d x$

Schritt 11

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - (6 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (6 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 6 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 12.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 12.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 6 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 12.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 12.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 6 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 12.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 6 \int x^{- 2} d x$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 6 (- x^{- 1} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache.

$- \frac{4}{x} + 4 x^{\frac{3}{2}} - 6 (- x^{- 1}) + C$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$- \frac{4}{x} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{- 1} + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 x^{- 2} + 6 \sqrt{x} - \frac{6}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{x} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{- 1} + C$