Analysis Beispiele

$\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3} d x$

Schritt 4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\int \sqrt{5 x (x + 3)} d x$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 3$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Bewege $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 3$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot 3$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$5 x^{2} + 15 x$

Schritt 5.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 5$

$b = 15$

$c = 0$

Schritt 5.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{15}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$d = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $2 \cdot 5$ heraus.

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

Schritt 5.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

Schritt 5.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{2}$

Schritt 5.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 5}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1.1

Potenziere $15$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 5}$

Schritt 5.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$e = 0 - \frac{225}{20}$

Schritt 5.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $225$ und $20$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1.3.1

Faktorisiere $5$ aus $225$ heraus.

$e = 0 - \frac{5 (45)}{20}$

Schritt 5.5.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{45}{4}$

Schritt 5.5.2.2

Subtrahiere $\frac{45}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{45}{4}$

Schritt 5.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$ ein.

$\int \sqrt{5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}} d x$

Schritt 6

Sei $u = x + \frac{3}{2}$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Es sei $u = x + \frac{3}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Differenziere $x + \frac{3}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x + \frac{3}{2}]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{3}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

Schritt 6.1.4

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{5 u^{2} - \frac{45}{4}} d u$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere $5$ aus $5 u^{2} - \frac{45}{4}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 u^{2}$ heraus.

$\int \sqrt{5 (u^{2}) - \frac{45}{4}} d u$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- \frac{45}{4}$ heraus.

$\int \sqrt{5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})} d u$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})$ heraus.

$\int \sqrt{5 (u^{2} - \frac{9}{4})} d u$

Schritt 7.2

Schreibe $\frac{9}{4}$ als ${(\frac{3}{2})}^{2}$ um.

$\int \sqrt{5 (u^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2})} d u$

Schritt 8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = u$ und $b = \frac{3}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

Schritt 9

Um $u$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Kombiniere $u$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (\frac{u \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

Schritt 10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \sqrt{5 \frac{u \cdot 2 + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

Schritt 11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

Schritt 12

Um $u$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

Schritt 13

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Kombiniere $u$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (\frac{u \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

Schritt 13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{u \cdot 2 - 3}{2}} d u$

Schritt 14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{2 u - 3}{2}} d u$

Schritt 15

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Kombiniere $5$ und $\frac{2 u + 3}{2}$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3)}{2} \cdot \frac{2 u - 3}{2}} d u$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $\frac{5 (2 u + 3)}{2}$ mit $\frac{2 u - 3}{2}$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{2 \cdot 2}} d u$

Schritt 15.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}} d u$

Schritt 16

Schreibe $\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $5 (2 u + 3) (2 u - 3)$ heraus.

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{4}} d u$

Schritt 16.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}} d u$

Schritt 16.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$\int \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))} d u$

Schritt 17

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\int \frac{1}{2} \sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)} d u$

Schritt 17.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}$ .

$\int \frac{\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

Schritt 17.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{\sqrt{(5 (2 u) + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

Schritt 17.4

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

Schritt 17.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 15) (2 u - 3)}}{2} d u$

Schritt 18

Multipliziere $(10 u + 15) (2 u - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u - 3) + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

Schritt 18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

Schritt 18.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Schritt 19

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u \cdot u + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Schritt 19.1.2

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1.2.1

Bewege $u$ .

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 (u \cdot u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Schritt 19.1.2.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Schritt 19.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Schritt 19.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $10$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Schritt 19.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Schritt 19.1.6

Mutltipliziere $15$ mit $- 3$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u - 45}}{2} d u$

Schritt 19.2

Addiere $- 30 u$ und $30 u$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 0 - 45}}{2} d u$

Schritt 19.3

Addiere $20 u^{2}$ und $0$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 45}}{2} d u$

Schritt 20

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 u^{2} - 45} d u$

Schritt 21

Sei $u = \frac{3}{2} \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ positiv ist.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1

Vereinfache $\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5}$ an.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.3

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{1} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.5

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\sec (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.1.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sec (t)}{2}$ an.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.6.2

Wende die Produktregel auf $3 \sec (t)$ an.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 (5) \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{5 (9 \sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.1.10

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.2

Faktorisiere $45$ aus $45 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.3

Faktorisiere $45$ aus $- 45$ heraus.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.4

Faktorisiere $45$ aus $45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t) - 1)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.6

Schreibe $45 \tan^{2} (t)$ als ${(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.6.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{9 (5) \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.6.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \cdot 5 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.6.3

Bewege $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \tan^{2} (t) \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.6.4

Schreibe $3^{2} \tan^{2} (t)$ als ${(3 \tan (t))}^{2}$ um.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{2} \int 3 \tan (t) \sqrt{5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 22.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.2.1

Kombiniere $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ und $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{3 \sec (t) \tan (t) \cdot 3}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

Schritt 22.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

Schritt 22.2.3

Kombiniere $\frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2}$ und $\tan (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Schritt 22.2.4

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} \sqrt{5} d t$

Schritt 22.2.5

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} \sqrt{5} d t$

Schritt 22.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} \sqrt{5} d t$

Schritt 22.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Schritt 22.2.8

Kombiniere $\frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ und $\sqrt{5}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t) \sqrt{5}}{2} d t$

Schritt 23

Da $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{9 \sqrt{5}}{2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Schritt 24

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.1

Mutltipliziere $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{2 \cdot 2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 24.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 25

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 26

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 27

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 27.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \cdot - 1 + \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 27.2

Vereinfache jeden Term.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Schritt 28

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 29

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 30

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 31

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{3} (t)$ heraus.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Schritt 32

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (t)$ und $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Schritt 33

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Schritt 34

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 35

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 36

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 36.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 36.2

Stelle $\tan^{2} (t)$ und $\sec (t)$ um.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Schritt 37

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Schritt 38

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 38.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 38.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 38.3

Stelle $\sec (t)$ und $- 1$ um.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 39

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Schritt 40

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 41

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 42

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 43

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Schritt 44

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Schritt 45

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 46

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 47

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 48

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 49

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 49.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 49.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 50

Wenn nach $\int \sec^{3} (t) d t$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Schritt 51

Mutltipliziere $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ mit $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Schritt 52

Vereinfache.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Schritt 53

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 53.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Schritt 53.2

Addiere $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ und $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Schritt 53.3

Mutltipliziere $\frac{9 \sqrt{5}}{4}$ mit $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{4 \cdot 2} + C$

Schritt 53.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

Schritt 54

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 54.1

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\frac{2 u}{3})$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) |))}{8} + C$

Schritt 54.2

Ersetze alle $u$ durch $x + \frac{3}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Schritt 55

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 55.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Schritt 55.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 55.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 55.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Schritt 55.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Schritt 55.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 55.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 55.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Schritt 55.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Schritt 55.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 55.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 55.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Schritt 55.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Schritt 55.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 55.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Schritt 55.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) |))}{8} + C$

Schritt 56

Stelle die Terme um.

$\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$

Schritt 57

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ .

$F (x) =$ $\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$