Analysis Beispiele

$18 \sqrt{y} d y$

Schritt 1

Schreibe $18 \sqrt{y} d y$ als Funktion.

$f (y) = 18 \sqrt{y} d y$

Schritt 2

Die Funktion $F (y)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (y)$ ermittelt wird.

$F (y) = \int f (y) d y$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (y) = \int 18 \sqrt{y} d y d y$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int 18 y^{\frac{1}{2}} d y d y$

Schritt 4.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int 18 d (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) d y$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 18 d y^{\frac{1}{2} + 1} d y$

Schritt 4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 18 d y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d y$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 18 d y^{\frac{1 + 2}{2}} d y$

Schritt 4.6

Addiere $1$ und $2$ .

$\int 18 d y^{\frac{3}{2}} d y$

Schritt 5

Da $18 d$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $18 d$ aus dem Integral.

$18 d \int y^{\frac{3}{2}} d y$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{\frac{3}{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$18 d (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Schreibe $18 d (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$ als $18 d \frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$ um.

$18 d \frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $18$ und $\frac{2}{5}$ .

$d \frac{18 \cdot 2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$d \frac{36}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $d$ und $\frac{36}{5}$ .

$\frac{d \cdot 36}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.2.4

Bringe $36$ auf die linke Seite von $d$ .

$\frac{36 \cdot d}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.2.5

Kombiniere $\frac{36 d}{5}$ und $y^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{36 d y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

$\frac{36}{5} d y^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (y) = 18 \sqrt{y} d y$ .

$F (y) =$ $\frac{36}{5} d y^{\frac{5}{2}} + C$