Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2} d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3 x^{2}} d x$

Schritt 5

Sei $u = \sqrt{3 x^{2}}$ . Dann ist $d u = \sqrt{3} d x$ , folglich $\frac{1}{\sqrt{3}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = \sqrt{3 x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $\sqrt{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{2}}]$

Schritt 5.1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{2}}]$ als $\frac{d}{d x} [x \sqrt{3}]$ um.

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Schritt 5.1.2.1

Stelle $3$ und $x^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot 3}]$

Schritt 5.1.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{3}]$

Schritt 5.1.3

Da $\sqrt{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x \sqrt{3}$ nach $x$ gleich $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{3}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} \int u \frac{1}{\sqrt{3}} d u$

Schritt 6

Kombiniere $u$ und $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u}{\sqrt{3}} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{\sqrt{3}}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{\sqrt{3}}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{3}} \int u d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3} \cdot 2} \int u d u$

Schritt 8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \int u d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe $\frac{1}{2 \sqrt{3}} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ als $\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$ um.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 10.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{u^{2}}{2} + C$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{6}$ mit $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} u^{2}}{6 \cdot 2} + C$

Schritt 10.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{3} u^{2}}{12} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $\sqrt{3 x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2}}{12} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$\frac{\sqrt{3}}{12} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{\sqrt{3}}{12} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2} + C$