Analysis Beispiele

$e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$

Schritt 1

Schreibe $e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$ als Funktion.

$f (x) = e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int e^{x} (- x^{3} + 3 x) d x + \int - 3 d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = - x^{3} + 3 x$ und $d v = e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - \int e^{x} (- 3 x^{2} + 3) d x + \int - 3 d x$

Schritt 6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = - 3 x^{2} + 3$ und $d v = e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} - \int e^{x} (- 6 x) d x) + \int - 3 d x$

Schritt 7

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} - (- 6 \int e^{x} (x) d x)) + \int - 3 d x$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 \int e^{x} (x) d x) + \int - 3 d x$

Schritt 9

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - \int e^{x} d x)) + \int - 3 d x$

Schritt 10

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - (e^{x} + C))) + \int - 3 d x$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - (e^{x} + C))) - 3 x + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$- x^{3} e^{x} + 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$

Schritt 12.2

Subtrahiere $6 x e^{x}$ von $3 x e^{x}$ .

$- x^{3} e^{x} - 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$ .

$F (x) =$ $- x^{3} e^{x} - 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$