Analysis Beispiele

$14 \sin^{4} (x)$

Schritt 1

Schreibe $14 \sin^{4} (x)$ als Funktion.

$f (x) = 14 \sin^{4} (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 14 \sin^{4} (x) d x$

Schritt 4

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $14$ aus dem Integral.

$14 \int \sin^{4} (x) d x$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$14 \int {\sin (x)}^{2 (2)} d x$

Schritt 5.2

Schreibe ${\sin (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$14 \int {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

Schritt 6

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (x)$ als $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$14 \int {(\frac{1 - \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

Schritt 7

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$14 \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$14 (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

Schritt 9

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $14$ .

$\frac{14}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $2$ .

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Schritt 9.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{2 \cdot 7}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Schritt 9.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 7}{2 (1)} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Schritt 9.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Schritt 9.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{1} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Schritt 9.1.2.2.4

Dividiere $7$ durch $1$ .

$7 \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Schritt 9.2

Schreibe $\frac{1 - \cos (u_{1})}{2}$ als ein Produkt um.

$7 \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Schritt 9.3

Multipliziere ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2}$ aus.

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Schritt 9.3.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$7 \int \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$7 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$7 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$7 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$7 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.7

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$7 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.8

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$7 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.9

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.10

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.11

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.12

Versetze die Klammern.

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.13

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.14

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.15

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.16

Bewege $\cos (u_{1})$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.17

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.18

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.19

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

Schritt 9.3.20

Versetze die Klammern.

Schritt 9.3.21

Bewege $\cos (u_{1})$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.22

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.23

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$7 \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.24

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$7 \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.25

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$7 \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.26

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$7 \int \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.27

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.28

Kombiniere $- \frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.29

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.30

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\cos (u_{1})$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.31

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.32

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u_{1})$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.33

Kombiniere $- \frac{\cos (u_{1})}{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.34

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.35

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.36

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.37

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u_{1})$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.38

Mutltipliziere $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.39

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.40

Kombiniere $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ und $\cos (u_{1})$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.41

Potenziere $\cos (u_{1})$ mit $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.42

Potenziere $\cos (u_{1})$ mit $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.43

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.44

Addiere $1$ und $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.45

Subtrahiere $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ von $- \frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$7 \int \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.46

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$7 \int \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.47

Stelle $\frac{- 2 \cos (u_{1})}{4}$ und $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ um.

$7 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.48

Stelle $\frac{1}{4}$ und $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ um.

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 9.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (u_{1})$ heraus.

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

Schritt 9.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 (2)} d u_{1}$

Schritt 9.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Schritt 9.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 9.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$7 (\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 11

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$7 (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 12

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$7 (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$7 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$7 (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$7 (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 15

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$7 (\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 16

Wende die Konstantenregel an.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 17

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 17.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 17.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 17.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 17.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 17.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 17.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 18

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 19

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 20

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 21

Wende die Konstantenregel an.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{1}{4} u_{1} + C + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 22

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u_{1}$ .

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 23

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C - \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 24

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}))$

Schritt 25

Das Integral von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sin (u_{1})$ .

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C))$

Schritt 26

Vereinfache.

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Schritt 26.1

Vereinfache.

$7 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{u_{1}}{4} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Schritt 26.2

Vereinfache.

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Schritt 26.2.1

Um $\frac{u_{1}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Schritt 26.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 26.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{u_{1}}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Schritt 26.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$7 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Schritt 26.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 (\frac{u_{1} + u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Schritt 26.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$7 (\frac{u_{1} + 2 \cdot u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Schritt 26.2.5

Addiere $u_{1}$ und $2 u_{1}$ .

$7 (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Schritt 27

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 27.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$7 (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 27.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$7 (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 27.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$7 (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 28

Vereinfache.

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Schritt 28.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3 (2 x)}{8}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 28.1.1

Faktorisiere $2$ aus $3 (2 x)$ heraus.

$7 (\frac{2 (3 (x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 28.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$7 (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 28.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 28.1.4

Forme den Ausdruck um.

$7 (\frac{3 (x)}{4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 28.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$7 (\frac{3 x}{4} + \frac{\sin (4 x)}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 29

Stelle die Terme um.

$7 (\frac{3}{4} x + \frac{1}{16} \sin (4 x) - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Schritt 30

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 14 \sin^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $7 (\frac{3}{4} x + \frac{1}{16} \sin (4 x) - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$