Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{x^{2} + 4 x - 4}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 5

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{2} + 4 x - 4) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 4 x - 4) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int (x^{2} + 4 x - 4) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (x^{2} + 4 x - 4) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Multipliziere $(x^{2} + 4 x - 4) x^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{2} + 4 x) x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.4

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.5

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.7.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{1 - \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.10

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.12

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.13

Stelle $x^{\frac{3}{2}}$ und $4 x^{\frac{1}{2}}$ um.

$\int 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 13

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache.

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 15.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 15.2.2

Stelle die Terme um.

$\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$