Analysis Beispiele

$2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 \sec^{2} (2 x) d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sec^{2} (2 x) d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7

Kombiniere $\sec^{2} (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sec^{2} (u)}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) d u) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $\int \sec^{2} (u) d u$ mit $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 10

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\tan (u) + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 12

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 12.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\tan (u) + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 12.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 12.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (u) + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\tan (u) + C - \int x^{- 2} d x$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\tan (u) + C - (- x^{- 1} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache.

$\tan (u) - - \frac{1}{x} + C$

Schritt 14.2

Vereinfache.

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Schritt 14.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\tan (u) + 1 \frac{1}{x} + C$

Schritt 14.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\tan (u) + \frac{1}{x} + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\tan (2 x) + \frac{1}{x} + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\tan (2 x) + \frac{1}{x} + C$