Analysis Beispiele

$(x - 4) \sqrt{x + 4}$

Schritt 1

Schreibe $(x - 4) \sqrt{x + 4}$ als Funktion.

$f (x) = (x - 4) \sqrt{x + 4}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (x - 4) \sqrt{x + 4} d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x - 4$ und $d v = \sqrt{x + 4}$ .

$(x - 4) (\frac{2}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Schritt 6

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 7

Sei $u = x + 4$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = x + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 7.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ als $\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ um.

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 9.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5 \cdot 3} + C$

Schritt 9.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Schritt 9.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 {(x + 4)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} (x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{15} {(x + 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (x - 4) \sqrt{x + 4}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} (x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{15} {(x + 4)}^{\frac{5}{2}} + C$