Analysis Beispiele

$- 2 x + 9 x^{2} - 4 x^{3} + 18$

Schritt 1

Schreibe $- 2 x + 9 x^{2} - 4 x^{3} + 18$ als Funktion.

$f (x) = - 2 x + 9 x^{2} - 4 x^{3} + 18$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int - 2 x + 9 x^{2} - 4 x^{3} + 18 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 2 x d x + \int 9 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 18 d x$

Schritt 5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int x d x + \int 9 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 18 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 9 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 18 d x$

Schritt 7

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 \int x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 18 d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 4 x^{3} d x + \int 18 d x$

Schritt 9

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 \int x^{3} d x + \int 18 d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 18 d x$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 18 x + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 18 x + C$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 18 x + C$

Schritt 12.1.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 18 x + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$- x^{2} + 3 x^{3} - x^{4} + 18 x + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = - 2 x + 9 x^{2} - 4 x^{3} + 18$ .

$F (x) =$ $- x^{2} + 3 x^{3} - x^{4} + 18 x + C$