Analysis Beispiele

$- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Schritt 1

Schreibe $- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ als Funktion.

$f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Schritt 6

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $48$ aus dem Integral.

$- (48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Schritt 7

Mutltipliziere $48$ mit $- 1$ .

$- 48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Schritt 8

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 8.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 8.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2$ heraus.

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Schritt 8.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{1}{{(2 (x) + 2)}^{2}}$

Schritt 8.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{{(2 (x) + 2 (1))}^{2}}$

Schritt 8.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{1}{{(2 (x + 1))}^{2}}$

Schritt 8.1.1.2

Wende die Produktregel auf $2 (x + 1)$ an.

$\frac{1}{2^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 8.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 8.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Schritt 8.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $2^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 8.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2^{2}$ .

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Schritt 8.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 8.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 ({(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 8.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 8.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 8.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 8.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 8.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 8.1.7.1.2

Dividiere $(A) \cdot (2^{2})$ durch $1$ .

$1 = (A) \cdot (2^{2}) + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 8.1.7.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$1 = A \cdot 4 + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 8.1.7.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = 4 \cdot A + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 8.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und $x + 1$ .

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Schritt 8.1.7.4.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})$ heraus.

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{x + 1}$

Schritt 8.1.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.7.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Schritt 8.1.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Schritt 8.1.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 = 4 A + \frac{B (2^{2} (x + 1))}{1}$

Schritt 8.1.7.4.2.4

Dividiere $B (2^{2} (x + 1))$ durch $1$ .

$1 = 4 A + B (2^{2} (x + 1))$

Schritt 8.1.7.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 4 A + 2^{2} B (x + 1)$

Schritt 8.1.7.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$1 = 4 A + 4 B (x + 1)$

Schritt 8.1.7.7

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B \cdot 1$

Schritt 8.1.7.8

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B$

Schritt 8.1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1.8.1

Bewege $B$ .

$1 = 4 A + 4 x B + 4 B$

Schritt 8.1.8.2

Stelle $4 A$ und $4 x B$ um.

$1 = 4 x B + 4 A + 4 B$

Schritt 8.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 8.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = 4 B$

Schritt 8.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = 4 A + 4 B$

Schritt 8.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

Schritt 8.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 8.3.1

Löse in $0 = 4 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 8.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $4 B = 0$ um.

$4 B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Schritt 8.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 B = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 B = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Schritt 8.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Schritt 8.3.1.2.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Schritt 8.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1.2.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Schritt 8.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 8.3.2.1

Ersetze alle $B$ in $1 = 4 A + 4 B$ durch $0$ .

$1 = 4 A + 4 (0)$

$B = 0$

Schritt 8.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.2.1

Vereinfache $4 A + 4 (0)$ .

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Schritt 8.3.2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$1 = 4 A + 0$

$B = 0$

Schritt 8.3.2.2.1.2

Addiere $4 A$ und $0$ .

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

Schritt 8.3.3

Löse in $1 = 4 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 8.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $4 A = 1$ um.

$4 A = 1$

$B = 0$

Schritt 8.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 A = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 A = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Schritt 8.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Schritt 8.3.3.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Schritt 8.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$A = \frac{1}{4} B = 0$

Schritt 8.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = \frac{1}{4}, B = 0$

Schritt 8.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{1}{4}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Schritt 8.5.2

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Schritt 8.5.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $0$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + 0$

Schritt 8.5.5

Entferne die Null aus dem Ausdruck.

$- 48 \int \frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Schritt 9

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- 48 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 48$ .

$\frac{- 48}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 48$ und $4$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 48$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 12}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Schritt 10.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 12}{4 (1)} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Schritt 10.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Schritt 10.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 12}{1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Schritt 10.2.2.4

Dividiere $- 12$ durch $1$ .

$- 12 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Schritt 11

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 11.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 11.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 11.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- 12 \int \frac{1}{u^{2}} d u + \int 48 d x$

Schritt 12

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 12.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- 12 \int {(u^{2})}^{- 1} d u + \int 48 d x$

Schritt 12.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 12.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \int u^{2 \cdot - 1} d u + \int 48 d x$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 12 \int u^{- 2} d u + \int 48 d x$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- 12 (- u^{- 1} + C) + \int 48 d x$

Schritt 14

Wende die Konstantenregel an.

$- 12 (- u^{- 1} + C) + 48 x + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache.

$- 12 (- \frac{1}{u}) + 48 x + C$

Schritt 15.2

Vereinfache.

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Schritt 15.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$12 \frac{1}{u} + 48 x + C$

Schritt 15.2.2

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{u}$ .

$\frac{12}{u} + 48 x + C$

Schritt 16

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$

Schritt 17

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ .

$F (x) =$ $\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$