Analysis Beispiele

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ als $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ um.

$\int (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Multipliziere $\sec (x) \sec (x)$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Schritt 4.3.1.1.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Schritt 4.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Schritt 4.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $\tan (x) \tan (x)$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

Schritt 4.3.1.2.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

Schritt 4.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Schritt 4.3.2

Stelle die Faktoren von $\tan (x) \sec (x)$ um.

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Schritt 4.3.3

Addiere $\sec (x) \tan (x)$ und $\sec (x) \tan (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Schritt 6

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\tan (x) + C + 2 \int \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Schritt 8

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\sec (x) \tan (x)$ ist, ist das Integral von $\sec (x) \tan (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int \tan^{2} (x) d x$

Schritt 9

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 12

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + \tan (x) + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Addiere $\tan (x)$ und $\tan (x)$ .

$C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + 2 \tan (x) + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$2 \sec (x) - x + 2 \tan (x) + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $2 \sec (x) - x + 2 \tan (x) + C$