Analysis Beispiele

$3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

Schritt 1

Schreibe $3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ als Funktion.

$f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 1 - 2 x$ und $d v = \sqrt{x}$ .

$3 ((1 - 2 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 2 d x)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $- 2$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2}{3} d x)$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Schritt 6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$ mit $1$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Schritt 9

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{4}{3}$ aus dem Integral.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C))$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Schritt 11.2

Schreibe $3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ als $3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ um.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Um $- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Schritt 11.3.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Schritt 11.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Schritt 11.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Schritt 11.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{5}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Schritt 11.3.5

Addiere $- 20 x^{\frac{5}{2}}$ und $8 x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Schritt 11.3.6

Faktorisiere $3$ aus $- 12 x^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{15}) + C$

Schritt 11.3.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}) + C$

Schritt 11.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

Schritt 11.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 11.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 11.4

Vereinfache.

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Schritt 11.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 11.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 11.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{\frac{3}{2}} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 11.4.3

Multipliziere $3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5})$ .

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Schritt 11.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 11.4.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Schritt 11.4.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 11.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$