Analysis Beispiele

$\frac{5}{9 x^{2} + 36}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{5}{9 x^{2} + 36}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{5}{9 x^{2} + 36}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{5}{9 x^{2} + 36} d x$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \frac{1}{9 x^{2} + 36} d x$

Schritt 5

Stelle $9 x^{2}$ und $36$ um.

$5 \int \frac{1}{36 + 9 x^{2}} d x$

Schritt 6

Faktorisiere $9$ aus $36 + 9 x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $9$ aus $36$ heraus.

$5 \int \frac{1}{9 \cdot 4 + 9 x^{2}} d x$

Schritt 6.2

Faktorisiere $9$ aus $9 \cdot 4$ heraus.

$5 \int \frac{1}{9 (4) + 9 x^{2}} d x$

Schritt 6.3

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$5 \int \frac{1}{9 (4) + 9 (x^{2})} d x$

Schritt 6.4

Faktorisiere $9$ aus $9 (4) + 9 (x^{2})$ heraus.

$5 \int \frac{1}{9 (4 + x^{2})} d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $5$ .

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\frac{5}{9} (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{5}{9} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Schritt 10.2

Schreibe $\frac{5}{9} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$ als $\frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ um.

$\frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{9}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{9 \cdot 2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{5}{18} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{5}{9 x^{2} + 36}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{18} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$