Analysis Beispiele

$2 e^{x} + \sec (x) \tan (x) - \sqrt{x}$

Schritt 1

Schreibe $2 e^{x} + \sec (x) \tan (x) - \sqrt{x}$ als Funktion.

$f (x) = 2 e^{x} + \sec (x) \tan (x) - \sqrt{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 e^{x} + \sec (x) \tan (x) - \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 e^{x} d x + \int \sec (x) \tan (x) d x + \int - \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int e^{x} d x + \int \sec (x) \tan (x) d x + \int - \sqrt{x} d x$

Schritt 6

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$2 (e^{x} + C) + \int \sec (x) \tan (x) d x + \int - \sqrt{x} d x$

Schritt 7

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\sec (x) \tan (x)$ ist, ist das Integral von $\sec (x) \tan (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$2 (e^{x} + C) + \sec (x) + C + \int - \sqrt{x} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (e^{x} + C) + \sec (x) + C - \int \sqrt{x} d x$

Schritt 9

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 (e^{x} + C) + \sec (x) + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (e^{x} + C) + \sec (x) + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (e^{x} + C) + \sec (x) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$2 e^{x} + \sec (x) - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 e^{x} + \sec (x) \tan (x) - \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $2 e^{x} + \sec (x) - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$