Analysis Beispiele

${(6 x + 5)}^{2} d x$

Schritt 1

Schreibe ${(6 x + 5)}^{2} d x$ als Funktion.

$f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(6 x + 5)}^{2} d x d x$

Schritt 4

Da $d$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $d$ aus dem Integral.

$d \int {(6 x + 5)}^{2} x d x$

Schritt 5

Sei $u = 6 x + 5$ . Dann ist $d u = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 6 x + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $6 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $6$ und $0$ .

$6$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$d \int u^{2} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) \frac{1}{6} d u$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $u^{2}$ .

$d \int \frac{u^{2}}{6} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} + \frac{u^{2}}{6} (- \frac{5}{6}) d u$

Schritt 7.2

Stelle $\frac{u^{2}}{6}$ und $- 1$ um.

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} - 1 \cdot \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\frac{u^{2}}{6}$ mit $\frac{u}{6}$ .

$d \int \frac{u^{2} u}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Schritt 7.4

Potenziere $u$ mit $1$ .

$d \int \frac{u^{2} u^{1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Schritt 7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$d \int \frac{u^{2 + 1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Schritt 7.6

Addiere $2$ und $1$ .

$d \int \frac{u^{3}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Schritt 7.8

Kombiniere $- 1 \frac{u^{2}}{6}$ und $\frac{5}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2}}{6} \cdot 5}{6} d u$

Schritt 7.9

Kombiniere $\frac{u^{2}}{6}$ und $5$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2} \cdot 5}{6}}{6} d u$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{5 \cdot u^{2}}{6}}{6} d u$

Schritt 8.2

Schreibe $- 1 \frac{5 u^{2}}{6}$ als $- \frac{5 u^{2}}{6}$ um.

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6} d u$

Schritt 8.3

Schreibe $\frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6}$ als ein Produkt um.

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6} \cdot \frac{1}{6} d u$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{5 u^{2}}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6 \cdot 6} d u$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{36} d u$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$d (\int \frac{u^{3}}{36} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{36}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{36}$ aus dem Integral.

$d (\frac{1}{36} \int u^{3} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u^{4}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Schritt 13

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Schritt 14

Da $\frac{5}{36}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{5}{36}$ aus dem Integral.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{5}{36} \int u^{2} d u))$

Schritt 15

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Schritt 16.2

Vereinfache.

$d (\frac{u^{4}}{144} - \frac{5 u^{3}}{108}) + C$

Schritt 17

Ersetze alle $u$ durch $6 x + 5$ .

$d (\frac{{(6 x + 5)}^{4}}{144} - \frac{5 {(6 x + 5)}^{3}}{108}) + C$

Schritt 18

Stelle die Terme um.

$d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$

Schritt 19

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$ .

$F (x) =$ $d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$