Analysis Beispiele

$8 \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Schreibe $8 \sin^{2} (x)$ als Funktion.

$f (x) = 8 \sin^{2} (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 8 \sin^{2} (x) d x$

Schritt 4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int \sin^{2} (x) d x$

Schritt 5

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (x)$ als $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$8 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Schritt 7.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \int 1 - \cos (2 x) d x$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$4 (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$4 (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Schritt 11

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 11.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 12

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Schritt 14

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$4 (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 15

Vereinfache.

$4 (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 16

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$4 (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Kombiniere $\sin (2 x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 17.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sin (2 x)}{2}$ in den Zähler.

$4 x + 4 \frac{- \sin (2 x)}{2} + C$

Schritt 17.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$4 x + 2 (2) \frac{- \sin (2 x)}{2} + C$

Schritt 17.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 x)}{2} + C$

Schritt 17.3.4

Forme den Ausdruck um.

$4 x + 2 (- \sin (2 x)) + C$

Schritt 17.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 x - 2 \sin (2 x) + C$

Schritt 18

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 8 \sin^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $4 x - 2 \sin (2 x) + C$