Analysis Beispiele

$\sin^{-1} (d x)$

Schritt 1

Schreibe $\sin^{-1} (d x)$ als Funktion.

$f (d) = \sin^{-1} (d x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (d)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (d)$ ermittelt wird.

$F (d) = \int f (d) d \cdot d$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (d) = \int \sin^{-1} (d x) d \cdot d$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin^{-1} (d x)$ und $d v = 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d - \int d \frac{x}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}} d \cdot d$

Schritt 5

Kombiniere $d$ und $\frac{x}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d - \int \frac{d x}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}} d \cdot d$

Schritt 6

Da $x$ konstant bezüglich $d$ ist, ziehe $x$ aus dem Integral.

$\sin^{-1} (d x) d - (x \int \frac{d}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}} d \cdot d)$

Schritt 7

Sei $u = 1 - d^{2} x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 \cdot d x^{2} d \cdot d$ , folglich $\frac{1}{- 2 x^{2}} d u = d \cdot d \cdot d$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = 1 - d^{2} x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d \cdot d}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $1 - d^{2} x^{2}$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [1 - d^{2} x^{2}]$

Schritt 7.1.2

Differenziere.

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Schritt 7.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - d^{2} x^{2}$ nach $d$ $\frac{d}{d \cdot d} [1] + \frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [1] + \frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$

Schritt 7.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $d$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $d$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$

Schritt 7.1.3

Berechne $\frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$ .

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Schritt 7.1.3.1

Da $- x^{2}$ konstant bezüglich $d$ ist, ist die Ableitung von $- d^{2} x^{2}$ nach $d$ gleich $- x^{2} \frac{d}{d \cdot d} [d^{2}]$ .

$0 - x^{2} \frac{d}{d \cdot d} [d^{2}]$

Schritt 7.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d \cdot d} [d^{n}]$ gleich $n d^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - x^{2} (2 d)$

Schritt 7.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x^{2} d$

Schritt 7.1.4

Subtrahiere $2 x^{2} d$ von $0$ .

$- 2 x^{2} d$

Schritt 7.1.5

Stelle $- 2 x^{2}$ und $d$ um.

$d (- 2 x^{2})$

Schritt 7.1.6

Stelle $d$ und $- 2$ um.

$- 2 \cdot d x^{2}$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\sin^{-1} (d x) d - x \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2 x^{2}} d u$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin^{-1} (d x) d - x \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2 x^{2}}) d u$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d - x \int - \frac{1}{\sqrt{u} (2 x^{2})} d u$

Schritt 8.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\sin^{-1} (d x) d - x \int - \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\sin^{-1} (d x) d - x (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + 1 x \int \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + x \int \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2 x^{2}}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2 x^{2}}$ aus dem Integral.

$\sin^{-1} (d x) d + x (\frac{1}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{2}}$ und $x$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 12.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 12.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x^{1}}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 12.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x \cdot 1}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 12.1.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x \cdot 1}{x (2 x)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 12.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x \cdot 1}{x (2 x)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 12.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 12.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 12.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 12.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 12.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 12.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 12.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 12.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Schreibe $\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $\sin^{-1} (d x) d + 2 \frac{1}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\sin^{-1} (d x) d + 2 \frac{1}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 14.2

Vereinfache.

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Schritt 14.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 x}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{2}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{2}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 14.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 14.2.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{x} + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $1 - d^{2} x^{2}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{{(1 - d^{2} x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x} + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (d) = \sin^{-1} (d x)$ .

$F (d) =$ $\sin^{-1} (d x) d + \frac{{(1 - d^{2} x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x} + C$