Analysis Beispiele

$x^{2} (2 x^{2} + 3 x)$

Schritt 1

Schreibe $x^{2} (2 x^{2} + 3 x)$ als Funktion.

$f (x) = x^{2} (2 x^{2} + 3 x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{2} (2 x^{2} + 3 x) d x$

Schritt 4

Multipliziere $x^{2} (2 x^{2} + 3 x)$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (3 x) d x$

Schritt 4.2

Stelle $x^{2}$ und $2$ um.

$\int 2 \cdot x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x) d x$

Schritt 4.3

Stelle $x^{2}$ und $3$ um.

$\int 2 \cdot x^{2} x^{2} + 3 \cdot x^{2} x d x$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 x^{2 + 2} + 3 x^{2} x d x$

Schritt 4.5

Addiere $2$ und $2$ .

$\int 2 x^{4} + 3 x^{2} x d x$

Schritt 4.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 2 x^{4} + 3 (x^{2} x^{1}) d x$

Schritt 4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 x^{4} + 3 x^{2 + 1} d x$

Schritt 4.8

Addiere $2$ und $1$ .

$\int 2 x^{4} + 3 x^{3} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x^{4} d x + \int 3 x^{3} d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x^{4} d x + \int 3 x^{3} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 3 x^{3} d x$

Schritt 8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 \int x^{3} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$2 (\frac{1}{5}) x^{5} + 3 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} x^{5} + 3 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Schritt 10.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{5} x^{5} + \frac{3}{4} x^{4} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{2} (2 x^{2} + 3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{5} + \frac{3}{4} x^{4} + C$